“《数学周报》 杯”2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代
号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填得零分）
x y 12,
1．方程组
x y 6
的解的个数为（ ）．
（A）1
答：（A ）．
（ B） 2（C） 3
（D）4
x y 12, 解：若 x ≥0，则 于是 y y
x y 6,
6 ，显然不可能．
若 x 0 ，则
x y 1 2 , x
y
6,
9 ，进而求得 x
于是 y y 18 ，解得 y
3 ．
所以，原方程组的解为
x 3,
只有 1 个解．
y 9,
故选（ A）．
2．口袋中有 20 个球，其中白球 9 个，红球 5 个，黑球 6 个，那么上述取法的种数是（
（A） 14
个．现从中任取
10 个球，使得白球不少于 2 个但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3
）．
（B） 16
（C） 18
（D） 20
答：（B）．
解：用枚举法：
红球个数
白球个数
2，3，4，5 5
3，4，5，6 4
4，5，6，7 3
2 5， 6， 7， 8
所以，共 16 种．
黑球个数
3，2，1，0 3，2，1，0 3，2，1，0
3，2，1，0 4
种 数 4
4 4
故选（ B）．
为锐角三角形，⊙ O 经过点 ， ，且与边 ， 分别相 ．已知△
3 ABC B AB AC C
交于点 D，E． 若⊙ O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等，则⊙ △ ABC 的（
）．
O 一定经过
（A）内心 （ B）外心 （ C）重心 （D）垂心
答：（解： 如图，连接 B）．
，因为△ ABC 为锐角三角形，所以
BE
BAC ， ABE 均为锐角．又因为⊙ O 的半径与△ ADE 的外
接 圆 的 半 径 相 等 ， 且 DE 为 两 圆 的 公 共 弦 ， 所 以 BAC
ABE ．于是， BEC
BAC
ABE 2 BAC ．
若△ ABC 的外心为 O ，则 BOC 2BAC ，所以，⊙
1
1
O
一定过△ ABC 的外心．
（第 3 题答案图） 故选（ B）．
4．已知三个关于 x 的一元二次方程
ax 2 bx c 0 ， bx2
cx a 0， cx2
ax b 0
恰有一个公共实数根，则 a2 b2
c2 的值为（
）．
bc ca ab
（A） 0
（B） 1
（ C）2
（ D） 3
答：（D）．
解：设 x0 是它们的一个公共实数根，则
ax 2 bx c
0 ， bx 2 cx
a 0 ， cx 2 ax b 0 ．
0
0
0
0
0
0
把上面三个式子相加，并整理得
(a b c)( x02 x0 1) 0 ．
因为 x02 x0 1 ( x0 1)2 3 0 ，所以 a b c 0 ． 于是
2
4
a2 b2 c2 a3 b3
c3 a3 b3 (a b)3
bc ca ab
abc
abc
3ab(a
b)
3 ．
abc
故选（ D）．
5．方程 x3 6x2 5x y3 y 2 的整数解（ x，y）的个数是（ ）． （A ）0 （ B）1 （ C）3 （D）无穷多 答：（A ）．
解：原方程可化为
x( x 1)( x 2)
（3 x2
x） y( y 1)( y 1) 2 ，
因为三个连续整数的乘积是
3 的倍数，所以上式左边是 3 的倍数，而右边除以 3
余 2，这是不可能的．所以，原方程无整数
解．故选 (A).
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
6．如图，在直角三角形 ABC 中， ACB 90 ，CA＝4．点 P 是半圆弧 AC
的中点，连接 BP，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的
绝对值是
．
答： 4．
解：如图，设 AC 与 BP 相交于点 D，点 D 关于圆心 O 的对称点记为点 E，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△ BEP 的面积，即△ BOP 面积的两倍．而 PO CO 2 2 2 ． 2 2
因此，这两部分面积之差的绝对值是 4．
BPO
S11
（第 6 题答案图）
7．如图 , 点 A，C 都在函数 y
3 3
x
( x 0) 的图象上，点 B， D 都在 x 轴上，
且使得△ OAB，△ BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标
为
．
答：（ 2 6 ，0）．
解：如图，分别过点 A，C 作 x 轴的垂线，垂足分别
为 E，F．设 OE＝ a，BF＝b， 则 AE＝ 3 a ，CF＝ 3 b ， 所以，点 A，C 的坐标为
（第 7 题答案图）
（ a ， 3 a ），（2 a ＋b， 3 b ）， 所以
3 a2
3 3,
3 3 ,
3 b(2 a b)
解得
a b
3 , 6 3 ,
因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ， 0）．
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案(2).doc
