第五节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法
[最新考纲] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
必备知识填充
1．综合法、分析法 内容 综合法 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推分析法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直定义 理，一步一步地接近要证明的结论，到归结为这个命题的条件，或者归结直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 实质 由因导果 为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 执果索因 P?Q1→ 框图 表示 Q?P1→P1?P2→…→得到一个明显 成立的条件Q1?Q2→…→ Qn?Q 文字 语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2．反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
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一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( ) (2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a 1 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( ) 2A．1 C．3 B．2 D．4 C [凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.] 2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a， 2 b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 B [“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确．] 3．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q C．P 2 2 B．P＝Q D．不能确定 A [假设P>Q，只需P>Q，即2a＋13＋22 a＋6a＋7>2a＋13＋ a＋8a＋5，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故 选A.] 4．已知数列{an}满足an＋1＝an－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________， 2 a4＝________，猜想an＝________. 3 4 5 n＋1 [易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.] 课堂考点探究 考点1 综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路 综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 1 证明：(1)ab＋bc＋ac≤； 3 a2b2c2 (2)＋＋≥1. bca[证明] (1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac， 得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)＝1， 即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 1 即ab＋bc＋ca≤. 3 (2)因为a，b，c均为正数， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2b2c2 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， bcaa2b2c2 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2a2b2c2 即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. bcabca1222 [母题探究] 本例的条件不变，证明a＋b＋c≥. 3[证明] 因为a＋b＋c＝1， 所以1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac， 因为2ab≤a＋b2bc≤b＋c2ac≤a＋c， 所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a＋b＋c)， 所以1≤a＋b＋c＋2(a＋b＋c)， 1222 即a＋b＋c≥. 3 (1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、 三相等”；(2) 应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 2, 2 2 2 2 2 2 C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； 2π (2)若C＝，求证：5a＝3b. 3 [证明] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sinB， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 2
2021届高考数学(理)一轮复习学案：第7章不等式、推理与证明第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法
