题型三 二次函数的图象与性质
例1 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
2
，0） 2
【解析】由于f(x)＝x2＋mx－1＝mx＋(x2－1)，可视f(x)为关于m的一次函数，故根据题意【答案】（－有
22?2?f(m)?m?m?1?0,解得－ 【答案】a<1时,f(x)min=a-2；a≥1时，f(x)min=－ . a 【解析】①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2. 1 ②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x＝. a1 当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内， a11 0，?上单调递减，在?，1?上单调递增． ∴f(x)在??a??a? 1121 ∴f(x)min＝f()＝－＝－. aaaa1 当>1，即0 1 ③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， a∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. ?a?2,a?1,?综上所述，f(x)min＝?1 ?,a?1.??a【易错点】忽略a＝0情形；对称轴不确定分类讨论 【思维点拨】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下： (1)当?b∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小2a2bm＋nbm＋n?b?4ac?b??值是f??；若≤，f(x)的最大值为f(n)；若≥，f(x)的最??222a2a4a?2a?大值为f(m)． (2)当?b?[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若2a?bb (3)当不能确定对称轴?关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值． 题型四 函数图象的综合考查 例1 函数y?xlnxx的图象可能是( ) 【答案】B. 【解析】法一 函y?xlnxx的图象过点(e，1)，排除C，D；函数y?xlnxx的图象过点(－ e，－1)，排除A，选B. 法二 由已知，设y?xlnxx，定义域为{x|x≠0}.则f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排 除A，C；当x＞0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，排除D，故选B. 【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性. ex?e?x例2 函数f(x)?的图像大致为 （ ） x2 【答案】B 【解析】 由f(x)的奇偶性，排除A；f(1)>0,排除D；当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大,故选B. 【易错点】忽略正无穷大时的函数值 【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值. 题型五 复合函数的简单性质 例1 设f(x)＝lg(2?a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________. 1?x【答案】(－1，0). 【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg 1?x，定义域为(－1，1). 1?x由f(x)<0，可得0< 1?x<1，∴－1 【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数. 常见奇函数：f(x)?loga1?x1?x或loga；f(x)?loga1?x1?x?x2?1?x?或 loga?x2?1?x? 1） 1?x2常见偶函数：f(x)（如y?logax）、f(x2)（如y?loga例2 若函数y??log2(x2?ax?a)在区间(??,1?3)上是增函数，求a的取值范围. 【答案】[2?23,2] 【解析】令u?g(x)?x2?ax?a，∵函数y??log2u为减函数，∴u?g(x)?x2?ax?a?a??1?3在区间(??,1?3)上递减，且满足u?0，∴?2，解得2?23?a?2，所 ?g(1?3)?0?以，a的取值范围为[2?23,2]. 【易错点】对数型函数的定义域 【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组. 题型六 函数性质综合 例1 设函数y＝f(x)的图象与y＝2xa＝( ) A．－1 C．2 【答案】C. 【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x即－x＝2 －y＋a ＋a ＋a 的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则 B．1 D．4 的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x ＋a 的图象上， ，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解 得a＝2，选C. 【易错点】关于直线对称的函数求法 例2 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当1?1－x x∈[0,1]时，f(x)＝??2?，则： ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； 1?x－3④当x∈(3,4)时，f(x)＝??2?. 其中所有正确命题的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确； 1?1＋x 当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝??2?，函数y＝f(x)的图象如图所示： 1?x－3当3 【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想． 四、成果巩固 题型一 指数运算与对数运算 ）,x?1,?1?log（22?x1. 设函数f(x)??x?1则f(－2)＋f (log212)＝( ) ?2,x?1,A.3 【答案】C 【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，1－ f (log212)＝2log212－1＝2log212×21＝12×＝6，故f(－2)＋f (log212)＝3＋6＝9，故选C. 22. 化简：2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝________. 【答案】2. 【解析】原式＝2lg 5＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(1－lg 5)2＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＋1＝(lg 2＋lg 5)2＋1＝2. 3.已知2x＝3，log4【答案】3. 【解析】原式＝log23?log2 B.6 C.9 D.12 8＝y，则x＋2y的值为____________． 38?log28?3. 3题型二 指对幂函数的图象与简单性质 1. 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( ) 11 A. B. C．2 D．4 42【答案】B 【解析】f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a， ∴loga2＋1＝0， 1∴a＝. 2 2?2 2.若a＝?，b＝x，c＝log2x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( ) ?3?3x A.c B.c
2019年高考二轮课程数学 全国通用版 基本初等函数 教案
