?13uuuvv?x?y?z?0??AE?m?0?21121vv ??. 由?uuu1?EF?m?0?x1?0?2?解得y1??3z1. 2取z1??2，∴m?0,3,?2.
v??uuuvv??x2?y2?0?BC?n?0?vv ??1又由?uuu解得y2?3z2. 3z2?0?BF?n?0??x2?2?2取z2?1，∴n?v?3,3,1.
?vv11vv?m?n?. ∵cosm,n vv ?mn7?77∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为
1. 7
20．
m2x2已知m＞1，直线l:x?my??0，椭圆C:2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
m2
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
△BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段，△AF1F2，（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，GH为直径的圆内，求实数m的取值范围. 【答案】（Ⅰ）x?2y?1?0，（Ⅱ）(1,2) 【解析】【详解】
m2（Ⅰ）∵直线l：x?my??0经过F22m2，得m2?2． ?m?1?22?m2?1,0，
?又Qm?1，?m?2．
故直线l的方程为x?2y?1?0． （Ⅱ）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，
m2x?my?22m2由{2消去x得2y?my??1?0，
x42?y?1m2mm21∴y1?y2??,y1y2??．
282?m2??1???m2?8?0，得m2?8， 由??m?8??4?2由于F1F2的中点． 1??c,0?,F2?c,0?，故O为F?x1y1??x2y2?G?AFF,?BFFG,H由分别为1212的重心，可知?,?,H?,?， ?33??33?设M是GH的中点，则M??x1?x2y1?y2?,?， 66??∵原点O在以线段GH为直径的圆内，?1?x1x2?y1y2??0． 9
??m21?m2??m2?2??， 而x1x2?y1y2??my1???my2???y1y2??m?1??2??2???82?m21∴??0，即m2?4．
82又Qm?1且???，?1?m?2．?m的取值范围是?1,2?．
21．已知函数f(x)?(ax?lnx)(x?lnx)?1(a?R)．
2（1）若ax?lnx，求证：f(x)?ax?lnx?1；
2（2）若?x0?(0,??)，f(x0)?1?x0lnx0?lnx0，求a的最大值；
22（3）求证：当1?x?2时，f(x)?ax(2?ax)． 【答案】（1）证明见解析；（2）amax?1；（3）证明见解析. e222【解析】试题分析：（1）由ax?lnx得ax?lnx?0，要证f(x)?ax?lnx?1只需证
（2）可得a?g(x)?x?lnx?1，利用导数可证明g?x?min?1；研究函数h(x)?22lnx02lnx，设，利用导数h(x)?x02x22lnx单调性进而的其最大值也就是a的最大值；（3）化简x2x2(ax?1)2f(x)?(ax?lnx)(x?lnx)?1，先根据配方法证明f?x??1?，在利用放缩法可证
4x2(ax?1)21??1?(ax?1)2?ax(2?ax).
4试题解析：（1）证明：设g(x)?x?lnx(x?0)，则g'(x)?1?1x?1， ?xx当0?x?1时，g'(x)?0，函数g(x)递减；当x?1时，g'(x)?0，函数g(x)递增， 所以当x?0时，g(x)?g(1)?1，
22∵ax?lnx，∴ax?lnx?0，∴f(x)?ax?lnx?1．
22（2）解：由f(x0)?1?x0lnx0?lnx0，得ax0?2lnx0?0或x0?lnx0?0（由（1）知不成立舍去），
2即a?2lnx0． x02
设h(x)?2lnx2(1?2lnx)（），则， h'(x)?x?0x2x21212当0?x?e时，h'(x)?0，函数h(x)递增；当x?e时，h'(x)?0，函数h(x)递减， 所以当x?0时，h(x)max?h(e)?21211，所以amax?． ee223（3）证明：f(x)?(ax?lnx)(x?lnx)?1?lnx?(x?ax)lnx?ax?1
x?ax22(x?ax2)2x?ax22(x?ax2)23?(lnx?)?ax?1??(lnx?)?1?
2424x?ax22x2(ax?1)2x2(ax?1)2?(lnx?)?1??1?．
244x2(ax?1)2?1?(ax?1)2?ax(2?ax)， 当1?x?2时，?x?(?4,?1)，∴1?42?x?ax2,?lnx?故f(x)?ax(2?ax)，等号若成立，则?即lnx?x，由（1）知不成立，故等号不成立， 2?ax?1,?从而f(x)?ax(2?ax)．
【考点】1、利用导数研究函数的单调性进一步求最值；2、利用导数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数转化为不等式恒成立问题证明. 22．在直角坐标系xoy中，M(?2,0).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
A(?,?)为曲线C上一点，B(?,??)，且BM?1．
3（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）求OA?MA的取值范围．
【答案】（Ⅰ）(x?1)2?(y?3)2?1；（Ⅱ）[10?43,10?43].
【解析】试题分析：（Ⅰ）设A(x,y)，利用x??cos?,y??sin?，得出点B的坐标，即可得到曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）利用曲线的参数方程，表示OA?MA?43sin??10，即可求解取值范围.
2222?
试题解析：（Ⅰ）设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以xB＝ρcos(θ＋
1??33)＝x－y；yB＝ρsin(θ＋错误！)＝x错误！未找到引用源。未找到引用源。
33222＋
1y， 21133x－y，x＋y错误！未找到引用源。)． 22221133x－y＋2)2＋(x＋y错误！未找到引用源。)2＝1， 2222故B(
由|BM|2＝1得(
整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1． （Ⅱ）圆C：{x??1?cos?y?3?sin?（α为参数），
则|OA|2＋|MA|2＝43sinα＋10，
所以|OA|2＋|MA|2∈[10－43，10＋43]．
【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用.
23．若?x0?R，使关于x的不等式|x?1|?|x?2|?t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T. （1）求集合T；
（2）若m?1,n?1且对于?t?T，不等式log3m?log3n?t恒成立，求m?n的最小值. 【答案】（1）T?{t|t?1}；（2）m?n的最小值为6
【解析】（1）利用绝对值不等式的三角不等式求出|x?1|?|x?2|的最大值，可得集合T．
（2）由（1）知log3m?log3n?1，利用基本不等式求得log3m?log3n的最小值，从而得mn的最小值，再由基本不等式可得m?n的最小值． 【详解】
（1）||x?1|?|x?||2?|x?1?(x?2)|?1，
1|－|x－2|?1，所以t的取值范围为(??,1]，即T?{t|t?1} 所以|x－（2）由（1）知，对于?t?T，不等式log3m?log3n?t恒成立，只需log3m?log3n?tmax， 所以log3m?log3n?1，又因为m?1n?1，所以log3m?0,log3n?0， ，
?log3m?log3n??log3mn?
又1?log3m?log3n????2??4（log3m?log3n时取等号，此时m＝n），所以?log3mn??4，所以log3mn?2,mn?9， 所以m?n?2mn?6，即m?n的最小值为6（此时m?n?3）. 【点睛】
本题考查绝对值的三角不等式，考查基本不等式求最小值．在第（1）小题中要注意条件中是log3m，
222log3n，m?n不能直接与log3m，log3n建立联系，但mn可与log3m，log3n建立关系，即log3m+log3n?log3(mn)，而m?n?2mn，这样通过mn建立联系后可得解法．
2024届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三第四次调研考试数学（理）试题（解析版）
