2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 x2?2xy?y2?x?y?6?0
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中
x2,2xy,y2叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
?x2?4y2?x?3y?1?0, ??2x?y?1?0;22??x?y?20, ?2 2x?5xy?6y?0.??第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，
像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组
?x2?4y2?4?0, ?
?x?2y?2?0.①②
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程组的解是
??x1?2,
?y1?0，?x?y?7,
?xy?12.?x2?0, ??y2??1.说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 ?① ②
?解法一：由①，得
x?7?y. ③ 把③代入②，整理，得
y?7y?12?0 解这个方程，得
y1?3,y2?4． 把y1?3代入③，得x1?4； 把y2?4代入③，得x2?3． 所以原方程的解是
2?x1?4,
?y1?3，?x2?3, ??y2?4.解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．
这个方程组的x,y是一元二次方程
z?7z?12?0 的两个根，解这个方程，得
z?3，或z?4． 所以原方程组的解是
1
2
??x1?4,?x2?3, ?
?y1?3;?y2?4.练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
?x2?y2?13, ??x?y?5的解? （1）??x?2,?x?3,?x?1,?x??2, （2）? （3）? （4）? y?3;y?2;y?4;y??3;???? 2．解下列方程组:
?y?x?5,?x?y?3,（1） ?2 （2） ?2xy??10;??x?y?625;?x2y22??1,?y?2x,??（3） ?5 （4）?2 42??x?y?8.?y?x?3;?
2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么 一元二次方程
x2－x－6＝0
的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式
x2－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式
x2－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有
两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没
2
有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的
b
实数根x1＝x2＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a2
不等式ax＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例3 解不等式：
（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意 x1＝－3，x2＝1． 的实数x，(x－3)2＜0都不成立， ∴不等式的解为
∴原不等式的解为
－3≤x≤1．
x＝3．
（2）整理，得
（5）整理，得 x2－x－6＞0．
x2－x＋4＞0． ∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数． x1＝－2，x2＝3．
2
∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或x＜3． （3）整理，得
(2x＋1)2≥0.
由于上式对任意实数x都成立， ∴原不等式的解为一切实数． （4）整理，得
(x－3)2≤0.
3
例4 已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式
bx2?ax?c?0的解．
解：由不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知 a?0，且方程ax2?bx?c?0的两根分别为2和3，
bc?6， ∴??5,aabc?6． 即 ??5,aa2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为
b2c x?x??0 ，
aa即 －5x2?x?6?0,
整理，得
5x2?x?6?0,2
所以，不等式bx?ax?c?0的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 例5 解关于x的一元二次不等式x2?ax?1?0(a为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式?的符号,而这里的?是关于未知系数的代数式, ?的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对?的符号进行分类讨论.
解: ??a?4,
①当??0,即a??2或a?2时, 方程x2?ax?1?0的解是
2?a?a2?4?a?a2?4x1?,x2?.
22?a?a2?4?a?a2?4所以,原不等式的解集为x?； , 或x?22 ②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当??0,即?2?a?2时,原不等式的解为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a2?4?a?a2?4, 或x? x?；
22当?2?a?2时,原不等式的解为一切实数．
例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来． 分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论． 解：∵y＝(x－a)2＋1－a2，
∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值 n＝1－a2；
4
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值 n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值 n＝-2a+2.
综上,函数的最小值为
§3.3.1三个二次的关系及一元二次不等式的解
一、知识回顾：
21、形如ax+bx+c>0（或<0）（其中a?0）的不等式称为关于x的一元二次不等式.
2、二次方程、二次函数、二次不等式的关系： 设f(x)=ax2+bx+c(a>0)，判别式?=b?4ac
判别式 方程f(x)=0的解 2?>0 ?=0 ?<0 无实数解 x1，x2 x0 函数y=f(x)的简图 不等式的解集
f(x)>0 f(x)<0 二、例题引路：
例1 设二次函数y=x?2x?3，当x为何值时：①y>0，②y=0，③y<0。
例2 结合相应二次函数的图像，解下列不等式：
（1）x+2x?3?0 （2）x?6x+9?0 （3）?4?x?x<0
5
2222
(5)二元二次方程与一元二次不等式解法
