28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．
【微点】圆的综合题．
【思路】（1）根据圆周角定理∠AOB＝90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB＝10，则可确定⊙M的半径为5； （2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO＝∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以＝析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND＝OD，ON＝
ND，
，可解得OC＝，则C点坐标为（﹣，0），最后运用待定系数法确定l的解
再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB＝AD：AO，即ND：6＝（8﹣ND）：8，解得ND＝
，所以OD＝
，ON＝
，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△，则BN＝10﹣
＝
，然后利用圆
AOB，利用ND：OB＝AN：AB，可求得AN＝
周角定理得∠OBA＝OEA，∠BOE＝∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出M＝NE，最后由OE＝ON+NE计算即可． 【解析】解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙M的直径， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝
＝10，
∴⊙M的半径为5；
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∵A（8，0），B（0，6）， ∴圆心M的坐标为（4，3）；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图， ∵BC与⊙M相切，AB为直径， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，
∴∠CBO+∠ABO＝∠ABC＝90°， 而∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠CBO， ∴Rt△ABO∽Rt△BCO， ∴
＝
，即
＝，解得OC＝，
∴C点坐标为（﹣，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入
，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+6；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图， ∵∠BOA的平分线交AB于点N， ∴△NOD为等腰直角三角形， ∴ND＝OD， ∴ND∥OB， ∴△ADN∽△AOB， ∴ND：OB＝AD：AO，
∴ND：6＝（8﹣ND）：8，解得ND＝
，
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∴OD＝，ON＝
，
ND＝）；
，
∴N点坐标为（
∵△ADN∽△AOB， ∴ND：OB＝AN：AB，即∴BN＝10﹣
＝
，
：6＝AN：10，解得AN＝
，
∵∠OBA＝∠OEA，∠BOE＝∠BAE， ∴△BON∽△EAN， ∴BN：NE＝ON：AN，即∴OE＝ON+NE＝
+
：NE＝＝7
．
：
，解得NE＝
，
【点拨】本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算． 四、附加题（本小题满分0分，不计入总分）
29．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；
（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．
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【微点】作图—应用与设计作图．
【思路】（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合； （2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．
【解析】解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处， 此时，每个小正方形的对角线长为 一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求；
（2）（画图正确给1分）
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，
，每个转发装置都能完全覆盖
使得BE＝31，OD＝OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处， 则AE＝∴OD＝
，
， ，
即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．
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【点拨】考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．
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2013年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案（高清） - 图文
