可得E（0，0，2），O（可得：可
，，0），A（，
，1，0），F（0，1，1），
，设异面直线EO与AF所成角为θ，
得
，
（3）可得D（可得可得
，
，﹣1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），
，
，可得的值可为
，设平面EBD的一个法向量为，
，由
可得AF与平面EBD所成角的正弦值为＝
．
2．（2019?河北模拟）如图，多面体ABC﹣DB1C1是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除一部分所得，其中平面ABC为原正三棱柱的底面，BC＝CC1＝2，点D为AA1的中点． （1）求证：B1C⊥平面BC1D；
（2）求二面角C1﹣BD﹣C的平面角的余弦值．
【分析】（1）设BC1与B1C交于点E，连接DE，由题意可得四边形BB1C1C是正方形，且AC⊥AD，再由点D为AA1的中点，AA1∥CC1，AA1＝CC1，求得CD，同理求得DB1，得DB1＝CD，可得B1C⊥DE，由线面垂直的判定可得；
（2）取BC的中点O，连接AO，可得AO⊥BC，由正棱柱的性质可得AO⊥平面BCC1B1，以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD与平面BC1D的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1﹣BD﹣C的
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平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：设BC1与B1C交于点E，连接DE，
∵多面体ABC﹣DB1C1是正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除一部分所得，BC＝CC1＝2，
∴四边形BB1C1C是正方形，且AC⊥AD， ∵点D为AA1的中点，AA1∥CC1，AA1＝CC1， ∴
∴DB1＝CD，
∵E为B1C的中点，∴B1C⊥DE， ∵B1C⊥BC1，BC1∩DE＝E， ∴B1C⊥平面BC1D；
（2）证明：取BC的中点O，连接AO， ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
由正棱柱的性质可得，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC， ∴AO⊥平面BCC1B1，
以O为坐标原点，OB，OE，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），B1（1，2，0），C（﹣1，0，0），D（0，1，
，
设平面CBD的一个法向量为
，．
）， ．
，同理
．
则，取z＝1，得．
由（1）知，平面BC1D的一个法向量为∴|cos＜
＞|＝
，
，
又∵二面角C1﹣BD﹣C的平面角为锐角， ∴二面角C1﹣BD﹣C的平面角的余弦值为
．
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3．（2019?吉林模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4． （1）证明：AE⊥平面ECD．
（2）求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值．
【分析】（1）证明AA1⊥CD．CD⊥AD，推出CD⊥平面AA1D1D，得到CD⊥AE．证明AE⊥ED．即可证明AE⊥平面ECD．
（2）连接CD1，点C1到平面AEC的距离即点C1到平面AD1C的距离．点C1到平面AD1C的距离为h．通过
，求解即可．
【解答】（1）证明：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥CD．
又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，
所以CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AE．
因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED． 又CD∩ED＝D，所以AE⊥平面ECD．
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（2）解：连接CD1，点C1到平面AEC的距离即点C1到平面AD1C的距离． 在
△
ACD1
中
，
，
．
又因为AD⊥CD，AD⊥DD1，DD1∩CD＝D，所以AD⊥平面CDD1C1． 设点C1到平面AD1C的距离为h． 因为
．
4．（2019?滨海新区模拟）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面MPC； （Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；
（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为长．
，求线段QN的
，所以
，
，即
，
，
【分析】（Ⅰ）连接EM，证明PABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．
（Ⅱ）建立以D为原点，分别以
的方向为x轴，y轴，z轴的正方向
的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．
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（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的
法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果． 【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以PABQ为平行四边形．
由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，
因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF?平面MPC，CM?平面MPC，
所以EF∥平面MPC．
（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．
依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q（
0
，
1
，
2
），
M
（
1
，
1
，1
）
.
设
为平面PMQ的法向量，
则，即，不妨设z＝1，可得
设
为平面MPC的法向量，
则，即，
不妨设z＝1，可得.，于是
．
所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．
（Ⅲ）设
，即
，则N（0，λ+1，2
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2019年全国各地高考模拟试题《空间向量与立体几何》解答题汇编(含答案解析)
