2017年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案

由天下分享时间：2025/1/24 6:10:53 加入收藏我要投稿点赞

第一试

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数f?x??x?ax?21a22，若实数使方程有实根，则的a?ba,b??bx?R,x?0fx?0????2xx最小值是

2．在正三棱台ABC?A1B1C1中，上底面积S△A1B1C1?12，下底面积S△ABC?27．若底边BC到截面AB1C1的距离等于三棱台的高，则S△AB1C1? 3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种

????cosx2cosy2yi，4．已知x,y???且z1?2，若z2?x?则z2?z1的取值范围是． ,?i，?,z1?2222sinysinx??4422225．函数f?x,y??x?y?2xy?2xy?3x?3y?2x?2y?2的最小值为 n?3n?1?6．设x1?3,xn?xn?1?2??xn?0?，则数列?xn?的通项公式为 xn?xn?17．如图，设P,Q分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当P,Q分别在圆上运动时，线段PQ的中点M所形成的区域面积为

3338．设a1,a2,,a2010???2,2?且a1?a2??a2010?0，则a1?a2??a2010的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）. 设复数z满足z?1?2．证明：z?1?1．

10.（本小题满分20分）

给定整数a，设f?x??ax?bx?cx，其中b,c?Z,满足f?1???1,f323?f?2???2

求出所有满足条件的函数f?x?．

11.（本小题满分20分）

x2y2给定椭圆2?2?1及点D?10,0?．

135（1）求r的值使得对于椭圆的左顶点A，存在椭圆上的另两点M1,M2，满足以D为圆心、r为半径的圆是△AM1M2的内切圆；

（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点N1,N2，使得时直线N1N2的方程．

D是△AN1N2的内切圆，并确定此

试

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）已知△ABC的内心为I，△ABC的内切圆

I切边BC于点D，△ABD,△ACD的内心分别是Jb,Jc，

△AJbJc的外心为O．

求证：A,O,I三点共线．

二、（本小题满分40分）

设a,b,c,d?0,且a?b?c?d?4．求证：

三、（本小题满分50分）

已知正整数n满足n?2014,?n,2014??1．

令An?k?N1?k?n,?n,k??1,Bn?k?Ank?1?An,Cn?k?Ank?1?An,

1111?2?2?2?a2?b2?c2?d2 2abcd???????kAn?对任意k?An，记Sk???，其中?x?表示不超过x的最大整数，A表示集合A中元素的个数．

?n?证明：（1）

k?Bn（2）??Sk?Sn?k????Sk?Sn?k?????Sk?Sn?k?；

k?Cnk?CnAnBn?modn?

四、（本小题满分50分）

某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．

第一试参考解答

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数f?x??x?ax?21a22a?b，若实数使方程有实根，则的??bx?R,x?0a,bfx?0????2xx最小值是

2．在正三棱台ABC?A1B1C1中，上底面积S△A1B1C1?12，下底面积S△ABC?27．若底边BC到截面AB1C1的距离等于三棱台的高，则S△AB1C1?

3．从1,2,3,

,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种

????cosx2cosy2yi,?i，4．已知x,y???且z1?2，若z2?x??,z1?22sinysinx?22?

，则z2?z1的取值范围是．

5．函数f?x,y??x?y?2xy?2xy?3x?3y?2x?2y?2的最小值为 442222

n?3n?1?6．设x1?3,xn?xn?1?2??xn?0?，则数列?xn?的通项公式为

xn?xn?1

7．如图，设P,Q分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当P,Q分别在圆上运动时，线段PQ的中点M所形成的区域面积为