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南京大学数学分析，高等代数考研真题
南京大学2002年数学分析考研试题
一 求下列极限。
(1?x)x?cos（1）limx??x(sinx?sin)ln(1?x)2x2；
（2）设f(x)?x?ln(a?x)，x?(??,a)，
（i）f(x)在(??,a)上的最大值；
（ii）设x1?lna，x2?ln(a?x1)，xn?1?f(xn)，(n?2,3,二 设f(x)?sinx?)，求limxn。
n??1，试证明f(x)在[2,??)内有无穷多个零点。 lnxf(x)三 设f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，lim?2，
x?01?cosx （1）求f?(0)； （2）求limx?0f(x)； x2（3）证明f(x)在点x?0处取得最小值。
四 设f(x)在x?0的某个邻域内具有二阶连续导数，且limx?0f(x)?0，试证明： x （1）f(0)?f?(0)?0；
（2）级数
?n?1?1f()绝对收敛。 n五 计算下列积分 （1）求
?Sxexe?1xdx；
2 （2）I???zxdydz?xydzdx?yzdxdy，其中S是圆柱面x22?y2?1，三个坐标平面及
旋转抛物面z?2?x?y所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六 设f(x)?C[a,b]，f(x)在(a,b)内可导，f(x)不恒等于常数，且f(a)?f(b)， 试证明：在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0。
七 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
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x2y2z2???1, a2b2c2第一象限的点M(?,?,?),问(?,?,?)取何值时，F所做的功W最大，并求W的最大值。 八 （1）证明：(1?)?e （2）求limnxnn?x，(n?N,0?x?n)；
?xn2(1?)xdx。 n???0n南京大学2002年数学分析考研试题解答
(1?x)x?cos一 （1）解 limx?0x(sinx?sin)ln(1?x)2(1?x)x?cosx2x2
1
x?0xx2sinx?sin12ln(1?x)xxxx1exln(1?x)(ln(1?x)?)?sin?1?x22 ?2limx?02xxsin112] ?lim[exln(1?x)(ln(1?x)x?)?x?01?x2x1?2?
49?. 41a?1?x （2）解 （i）f?(x)?1?, ?a?xa?x?lim当x?a?1时，f?(x)?0，f(x)在(??,a?1]上单增， 当a?1?x?a时，f?(x)?0，
f(x)在[a?1,a)上单减，
所以f(x)在x?a?1处达到最大值，f(a?1)?a?1； （ii）当a?1时，0?x1?lna?ln(1?a?1)?a?1，
1?a?x1?a，
0?x2?ln(a?x1)?lna?a?1，
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x3?f(x2)?f(a?1)?a?1， xn?a?1，1?a?xn，
xn?1?xn?ln(a?xn)?xn，{xn} 单调递增有上界，设limxn?A，则有
n??A?A?ln(a?A)，a?A?1，A?a?1，
limxn?a?1；
n??当a?1时，xn?0，limxn?0；
n??当0?a?1时，x1?lna?0，x1?lna?ln(1?a?1)?a?1，
1?a?x1，
二 证明 因为f(2n???2)?1?1ln(2n??)2??0，
?1f(2n??)??1??0，(n?1,2,)，
?2ln(2n??)2显然f(x)在[2,??)上连续，由连续函数的介值定理知，存在
?n?(2n???2,n?2??2使得)
f(?n)?0 (n?1,2,)，
即得f(x)在[2,??)上有无穷多个零点。
f(x)f(x)x2?lim2三 解 （1）2?lim，
x?01?cosxx?0x1?cosxx2f(x)?2，所以lim2?1， 因为limx?01?cosxx?0xf(x)f(x)?lim(2?x)?0，
x?0x?0xxf(x)?f(0)f(x)lim?lim?0， x?0x?0x?0xlim于是f?(0)?0； （3）由limx?0f(x)f(x)1知，存在，当时，?1?，f(x)?f(0)， ??00?x??22xx2 学习参考
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即知f(x)中在x?0处取得极小值。M?supf??(x)
x??四 、证明 （1）由limf(x)?limx?0x?0f(x)?x?0，知f(0)?0， xf(x)?f(0)f(x)?lim?0知f?(0)?0.
x?0x?0x?0x111111（2）f()?f(0)?f?(0)?f??(?n)2?f??(?n)2，
nn2n2n由lim?1M1M1f()?，已知收敛，其中M?supf??(x)， ?22n2nx??n?12n?于是
?n?11f()收敛，结论得证。 n五 （1）解
?32xdx??x[(e?1)2]?dx
3ex?1xex3222xxxx ?x(e?1)2??e?1edx??e?1dx
333332222xexxxx22 ?x(e?1)??(e?1)?xe?1??dx,
x3333e?1所以
?xexex?1dx? ?211x1xex?1(ex?1)?e?1(ex?1)?xex?1?C 2321xx1xe(e?1)?(ex?1)ex?1?C. 2322222（2）解 曲面x?y?1，z?2?x?y事物交线为x?y?1，z?1，
?1?{(x,y,z):x2?y2?1,0?z?2?x2?y2,x?0,y?0}， ?2?{(x,y,z):1?x2?y2?2,0?z?2?x2?y2,x?0,y?0}，
其中S是区域?1的边界时，利用高斯公式，
I???zxdydz?xydzdx?yzdxdy
S ????(z?x?y)dxdydz
?1?201??d??dr?012?r20(z?rcos??rsin?)rdz
??dr?02?r2?0dz?2(zr?r2cos??r2sin?)d?
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2?r2??dr?010(zr?2?2r2)dz
1?1??[r(2?r2)2?2r2(2?r2)]dr 022??4?01[4r?4r3?r5]dr?2?[2r2?r4]dr
01?121(2?1?)?2(?) 46357?14??. 2415? 当S是?2的边界时，利用高斯公式
I???zxdydz?xydzdx?yzdxdy
S ????(z?x?y)dxdydz
?2??dr?022?r2?0dz?2(z?rcos??rsin?)rd?
02?1??[r(2?r2)2?2r2(2?r2)]dr 122??11243[?2(2?r2)]22?2?[2r2?r4]dr
11?212?2(r3?r5) 2435116214?.
241515????六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意x?(a,b)，都有f?(x)?0，f(x)在[a,b]上单调递减，由于f不恒等于常数，所以f?(x)不恒等于零，存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0，limx?x0f(x)?f(x0)?f?(x0)?0，存在x0?x1?b，使得
x?x0f(x1)?f(x0)?0，f(x1)?f(x0)，
x1?x0因为f(x0)?f(a)，f(b)?f(x1)，
所以f(b)?f(x1)?f(x0)?f(a)，这与f(a)?f(b)矛盾，从而假设不成立，原结论得证。
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南京大学数学分析高等代数考研真题和解析
