.
dx X + T + Yr 3.如果三重积分|[/( x,y,z) dxdydz的被积函数/( x，y〆)是三个函数/, (*)，/2 ( y )，
n /3U)的乘积，即/(x，y，z) =/丨(x)f2(y)f3(z)，积分区域I (x,y,z) \\ a^x^b ,c^ )矣dzm :,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
fff/i (x)f2( y )/3(2) dardrdz = [ f^x) Ax [/2(j)cly f f3(z)dz. Uf/i (x)f2 (y)h(z) dxdydz n d.r =HI (I /1 (*)/2(3^)/3(2)^)^]'
=
JJi (f,(^)/2(y) - jf/3“)心卜]1 j dx lck
=I [ (|73(^)^)* (l/,(^)/2(7)^)]'
=({ ,3(z)d2). {, [/々)-lr/2(y)dy]dx
=I /3 (2) dz ? J /2(r)dr ? juf\\(x)dx =右端.
. 4.计算jjjx}.2z3 dxdydz,其中/2是由曲面dy，平面y = :t，x = l和z=0所围成的闭
ptn rd rlf K域.
解如图]0 _41 可用不等式表示为
0 ^ z ^ xj, 0 ^ y ^ x, 0 ^
2
^ 1.
Jxy2 z^1 ilxdydz = ^ xdx jf y(ly 丄 dz i5.计
算 四面体.
djjdydz .,其屮 /2为平而.t =o，y = o，z =()，* + r + ^
Jjj ( I + x + y + z) 42
所闹成的
解 n = I (x,y,z) I I - AT - 7,0^7^ i -*，()《“ 1 I (阁 1(> _) ’十坫
rrm 1 + .T + y + 2) lz精品 . 8 2( 1 + x + y)2 - dr [- 112 / ------------ \\ 4 图 10 -42 iii 6.计算HxyzAxdyilz.其中为球面/ +.V2 + z2 - 1及二个坐标面所围成的在第 n 卦限内的闭区域. 解法一利用直角坐标计算.由于 fi = I (x,y,z) | 0 ^ z ^ /1 - x2 - y2 ,0矣 y 矣-J1 - .r2 ,0 ^ .v ^ I | , 故 :(1: xdx vr y( > - v( 1 一 .'?*■)、l v = YJ- 4o (1A 解法二利用球面光标计算，「ii于 \ I 0 ^ r $ I ,0 ? ^ ^ ^,0 ^ ^ ^ ^ 精品 . jjjxyzAxdyAz = jjj(r3sin2屮cos ? 4 r sin ~2~ .sin cp 汐 4 0 U J 2 0 2IT注比较本题的两种解法，显然用球面坐标计算要简便得多，这是由本题的积 分区域的形状所决定的 .一般说来，凡是由球面、圆锥面等曲面围成时，用球面 坐 标计算三重积分较为方便. \ 7.计算jjjxzdxdydz,其中是由平面z =0,z =y,y - 1以及抛物柱面y = x2所围成的闭 n 区域. 解法一容易看出，的顶为平面z = 7,底为平面^=0,在Wy面上的投影区 域 0?由y=l和7=/所围成.故可用不等式表示为 0备 z 莓 y,x2 :Sy 矣 1,-1 筅 x 矣 1. 因此 jjj xzdxdyd2 解法二由于积 xdx xdx 分区域关于yOz面对称(即 若点UJJ) ￡/2，则(-tyj)也 属于/2)，且被积函数*2关于*是奇函数(SP( -x)z= -(a))，因此 j^xzdxdydz = 0. la ?.计算 jjjzdxdydz，其中 /2是由锥面 Z = ~^A2 +y2与平面 z = /i(/? >0，/i >0)所_成 的 闭K域. 故在；cW面上的投影 fx:域o R\\ 解法一fh z =去+y2与z = h消去z，得 x2 +r2 = 、=\\ ( x ,y) \\ x2 + y2 ^ R2 \\ (1^1 10-43)， 去 y/x2 + y2 ^ z ^ h,{x,y) e OXJ J- fl = I (x,y,z) J二是 精品 . TTR zd.rdyd2 = dxdy -j：dz 2 [ l PP \\^h. 60 = ;(x2 + y1) dxdy R2 (H zx2 + y2 ) dxd) /ijda：dj h^_ 2R2 解法二用过点（0,0,2）、平行于.rOy面的平面截得平面圆域0:，其半径为 ，面积为(图10-43). }d22h2 O - | (xyy,z) | (x,y) e Dz,0 ^ z ^ h \\ . 于是 jjjzdxdydz = n zdzjjdxdy i), h 24/ -7T R2k2. 注解法二通俗地称为“先重后单”法.即先在D: I：作关于.V、、的二氓积分.然 后再对^作定积分.如果在02上关于.t和v的二重枳分易于计算，特別地.如來被枳 函数与x，y无关，且R的面积容易表达为 r 2的闲数，则采HJ这种 //法比较尚使. *解法三用球而坐标进行计算.在球而坐你系中，N锥面：=7 力 A + 7的 =arclan 了 j，平而：的力? ft! A r = /，ser 妒，闪此 17 \& 'h 为 0 ^ 0 2 TT ,0 ip 于足 a , 0 ^ r ^ //ser if. 精品 . jjjzdxdydz = Jjjr cos (p ? r2 sin cpdrdcpdO irh4 / R2 + h2 CTT fa d01 cos (p sin (p r /isin (p 4cos' ip ft 4 rdr 3 d(p irh ra d( cos COS (p 4irh4 , I-' cos a h2 UM9.利用柱面坐标计算下列三重积分： 代入 Q： = arctan (1 ) jjzdv，其中/2是由曲面z -s/l- x1 -y2及z-x1 + y2所围成的闭区域； n (2) jjj(x2 + y2)dr,其中/2是由曲面x2 +y2 =2z及平面2 = 2所围成的闭区域. n 解(1)由 -X1 - y2和 z=x2 +y2消去 z,% (x2 + y2) 2 = 2 - (x2 + y2 ),即;r2 + y2 = 1. 从而知在.rOy面上的投影区域为IU,y) h2 +y2彡1丨(图10-44).利用柱 面坐标，/2可表示为 p2彡 Z - p2 ,0彡 p 彡 1 ,0矣 0 矣2-n, 60 p(2 -p2 -〆) 精品
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
