.
I.
精品
.
证令 u 二:c -y，r = A: + y，贝lj x
-dad 7； 在此变换下，D 的边界x +y = 1 ,
dv D'=
d(x，y) d(u,v) 因此有 ^ - y) x + y) 2
dxAy TI Av I cos—da J-v v \\i va=0,y=0依次与v = 1，u+y=0和v - u = 0对应.后者构成aOt;平面上与Z）对应的 闭
区域Z）'的边界（图10-37） ?于是
v sin 1 dv = —sin h 2 证毕.
^ ? 22.选取适当的变换，证明下列等式：
(1 ) jj/(x + y) I) ( 2 ) jj/( ax + by + c) dxdy = 2J ^ -J 1 - w2/( u sj n2 + If2 + c)i\%u,其中 ’)=\\ (x ,y) | i> X2 + y2 ^ 1 | , R ?2 +b2^0. 证(丨)闭 IX 域\的边界为 x + y = - \\ ,x +y = \\ ,x -y^ - 1- y = 1，故令〃= z + y，《；=文-y，即* = +，:K = Y ?在此变换下，\变为》汍平血丄的闭 1 只:域 精品 3“，y) . d(u,v) ——dwell； 2 于是 J/O + y)dxdy = Jf(u) f—/■㈤ d 证毕. i) o' “/_ dr /( u) du. (2)比较等式的两端可知需作变换 u ya2 + b2 = ax + by, 即 u =似 + j_ ? Va2 + b2 再考虑到0的边界曲线为x2 +y2 =1, 故 令 这 样 就 有 u2 + v2 =1，即D 的边界曲线/ +/ = 1变为uOv平面上的圆u2 +v2 =1.于是与D对应的闭区域为 D' - ) (u ,v) \\ a2 + y2 ^ 1 | . 又由的表达式可解得 x 因此雅可比式 au + bv y/a2 4- b2 bu - av a1 + b2 = . d(u yv) b2 sj a2 + b2 v/a2 + I)2 于是 jj/( ax + by + c)dxdy = u /a2 + b2 + r) | - 1 | du dv 、/ 1 - ii!j{ u \\/+ /广 + c) ih/. (I// , ./r -/rv /( u \\/n + /〆 + 2证毕 精品 . 三重积分 w 1.化三重积分/ = j|y(.t，y，z)ckdydz为三次积分，其中积分区域/2分别是: n (1) 由双曲抛物面及平面x+y-l = 0，z=0所围成的闭区域; (2) 由曲面z = +72及平面z = i所围成的闭区域； (3) 由曲面-n2 + 2y2及z=2-x2所围成的闭区域； (4)由曲面 cz=xy(c>0),~ + ,z = 0所 围成的在第一卦限内的闭 区域? 解(1) 的顶和底面 z=0的交线为x轴和y轴，故在面上的投 影区域 由.r轴、y轴和直线x +y - \\ =0所围成.于是/2可用不等式表示为 因此 d.r Ay I f(x,yyz) dz. (2)由z = x2 + y2和z = 1得x2 + y2 =丨，所以/2在xOy面上的投影区域为x2 + )'2 矣丨(图10-38)./2可用不等式表示为 ;t2 + y2矣 z 矣 1 , - s/\\ - X1 矣 >.这 y/ l - X2 , - 1 矣；C 备 1， 因此 + 2.f(x,y,z)c\\z. (3) + [z=2 -x2 '，消去2,得丨+y2 = 1?故/2在面上的投影区域为.t2 + /霉1(图10-39) ?于是/2可用不等式表示为 A:2 + 2y2 ^ z � 2 - X2,-」\\ - x1 ^ j ^ J\\ - x2 , - I ^ A: ? 1 , 因此 r1 r /? -x2 / = f2 ~*2 、， /-.dX/-/rr7r^/^2/(jC，y，2> 精品 z=2-x1 . 图 10-38 图 10-39 (4) 显然在;面上的投影区域由椭圆~ + ~ = 1 (.r彡0o'彡0)和.v轴，v轴 U b 所围成，的顶为cZ = A：y，底为Z二0(图10 -40).故/2可用不等式表示为 因此 图 10-40 注本题中的4个小题，除寒2小題外，的图形都不易|明出.flJ.是，为确定 次枳分的枳分限，并非必须画出i7的准确图形.重耍的是要会求出作坐标曲I..的 投影区域，以及会定出的璃和底面，而做到这点，只需掌抿常见曲而的；;?稈和m if; 特点，并具备一定的空间想象能力即可.木草题解中:配了较多插阁，沾汝m观 察，这对培釋牵间想象能\是存好处的. 2a 2.设有一物体，占有空间闭K域= 1 ('v，：) | (.)矣.》?矣I .0莓)琴1.() n 1 ; , (x,y,z)处 的密取为 f)( x,y,z) = \\ + \\ +;, ||^：该物休的吨 1|1:. 解 M - jjjpd.vd \\ (b = | (|.\\ | (I t | ( v + \\ + 精品
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
