.
Jj]u(x，;y)da^ x2 + j2 ) da[、OP
T
pdpdO
二4[ ' = ^r.
Jo 40
/： >0 ) ,z = 0以及球心在原点、半径为尺的上半 cM 17.求由平面y = 0，)? =
球面所围
TT
成的在第一卦限内的立体的体2积. 2yda = | yw - ppdpd0
=a ?(- 2(ippp
arctan k.
d 18.计算以.rOy面上的圆周:t 顶2 ■ y2 = ax围成的闭区域为底，而以曲面2 =*2 + /为
:arctan h,
2
- I (x,y) | 0 ^ j ^ / ax -A: ,0 ^ A: ^ a | =
|(p,0)|O^p^ acos 9,0 0 ^
由于曲顶柱体关于面对称，故 2
V = 2 ff ( x2 + y ) (lid)
^ facoa 0 22 J]p ? P^P^O二2丄 丄 p\\\\p
|冬MO -33
的曲顶柱体的体积. 解如图10-34,设
2
4-Tin 2
2 32
f?-| 1() -34
精品
.
注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也 能减少错误?
^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：
（1 ） J（x - y）2sin2（x + y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶
点是 /）
（7T，0） , （2TT,7T），（7T，27T）和（0，TT）;
（ 2 ） Jx2d.vdy，其中是由两条双曲线w = 1和X） = 2 ,直线）=.r和
y = 4A?所 1） 围成的在第一象限内的闭区域；
（3） （fe5d.rdy，其中￡?是由.v轴、）■轴和直线.r + .r = l所围成的闭区域；
V 371 D' 71 -71 n 一 14 (b) 解 （1）令^=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： =
- ~2~'在这变换下，的边界I -
y = - IT ,x y = IT ,x - y = TT ,x + y = 3ir
，
，
，
*) ^ si
依次与 u = 一 TTr = TTu = TT？； ir ( v
+ > ) <1
= 3TT 对应.后者 构成aOi；平面上vd、 与D对应的闭区域/）'的边界.于是
D' = \\ { U ,v） | 一71'$“$77,77<\$311:（图10-35）. 3 (.'，，V) . i\\m\\i精品 . IT2 4 dw sin2f；dy (2)令 W = A：y，=上，贝Ij A： 1 卜］ IT \\JL T .y. L 2 sin 2v' 4^- YLU \\/uv-在这变换下，D的边界xy = 1，y =^，叮=2, )= 4x依次与u = \\Jv = \\,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D对应的闭区域 \ d(x,y) d(u,v) 1 2 y~uv fv ■Ju 2 ■Ju v{ 2v 2 Ju 2 Jv 因此 D. —dv v fj^y dxdy -h- 2. 222-—dudv = 2v 1 一0 (b) 2 的边界.于是D1 = \\(u,v) | 1彡a彡2，1彡i;彡4丨(图10 -36)?又 阁 10-36 (3) ^ u = x + y ,v = y x = = 则在这变换下，/)的边界7=0，％=0, % y - \\依次与r = ()，a = ^，w = 1对应.后者构成wO?;平面上与D对应的剛K域/J 的 边界，于是 D' = \\ (uyv) \\ 0 ^ V ^ u,0 ^ u ^ \\ \\. 又 y = f|^|='—丨 因此 \\^ef^(\\xAy = JJe7du dv = ^ (Jw丄 eTdf’ =丄 u( e - 1 ) CJM i) o' = + (e -\. 精品 . {x = apcos 0, . y - bp sin ? 下，与D对应的闭区域为“二丨（p，0） | 0彡p彡1彡2TT1 .又 ((2>0，/>>0,/)彡0,0彡沒彡211).在此变换 acos 0 ' — apsin j d（x,y）= \ a bp. d（P，e） 6 bs'm 0 bpcos 8 % ^ \\ rr ~ TX r 1 '—Z + ^- dxdy =〆? abpdpdd = ab I I p ’dp = —abir.1*20.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积： （1 ） 0是由曲线xy = 4，xy = 8，xy = 5 , A;J =15所围成的第一象限部分的闭 区域； (2) Z)是由曲线 y=?，y = 4/ ,x = y ,x - 4y 所 解(1 ) u = xy ,v = xy ( a:彡0，y 彡0 )，贝lj x 对应的 3J: 33 围成的第一象限部分的闭区域. ^,7 = 在这变换下，与D ； . uOi;平面上的闭区域为D' = | (u,v) | 4 ^ ^ 8 ,515 ! / -心，y) _ d(u,v) 于是所求面积为 JJdxdy rr 1 JJ 2v —(hid?；= （2）令 与 :丄心 2 If 8 1 —dv - 2In 3. 15j4 V ■（:r>0，y>0），贝lj x = u~Tv~T,y = u~Tv~r.在这变换下， xJ y' (l/vd r j = d(x,y)= d(u ,v) 于是所求面积为 -u v ■T 8 ~T u ' i\\ll /I = || dxdy D对应的aOr平面上的闭区域为D'=丨（《.，/，）| 1彡w彡4，丨彡r$4 | ?又 Ea*21.设闭K域《是I h直线i + y = l, .r = 0, v = 0所闱成，求证 精品
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
