研究生地理数学方法（1） 第四章 随机过程与时间序列分析（Part 5）
第四章 随机过程与时间序列分析
§6 作业题
⒈ 回归分析的一个基本要求是，对于线性模型
yi?a??bixij??i
j?1m其残差（residual）为白噪声（white noise）序列。也就说，计算值和实测值的误差序列
?i ?i?yi?y必须满足“独立”、“正态”和“等方差”等统计条件。回归分析的所谓Durbin-Watson检验，
其实就是残差的独立性检验。我们在第三章“多元统计分析”中曾经要求大家以某省连续18年的工、农业产值为变量进行多元回归和逐步回归分析（原始数据见作业2）。现在，我们进行如下回归计算：
⑴ 分别以工业产值(x1)、农业产值(x2)、固定资产投资(x3)为自变量，以运输业产值(y)为因变量，进行一元线性回归；
⑵ 以时间序号(t)为自变量，以固定资产投资额的倒数(1/y)为因变量，进行非线性回归（显然，结果为双曲线模型的一种）；
⑶ 以工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，以运输业产值为因变量，进行多元线性回归。
全部回归的残差（residuals）列于下表（表1）。
表1 各种回归的残差序列
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x1-x2 1.8847 0.2232 -2.9222 -0.5139 11.5936 5.2598 7.5924 -0.1209 -1.8105 -3.2535 -9.4807 -9.1320 -7.6239 -5.6028 -2.2381
x1-x3 -11.4412 -15.8072 -5.5353 -2.0795 1.8990 1.3505 5.1649 5.7740 6.0476 5.2478 -1.8415 2.9700 -4.0565 5.1055 10.0432
x1-y -2.2061 -5.1807 -9.0425 -4.5693 3.9900 0.3079 1.7253 -1.9531 2.7023 4.4178 1.5240 0.3363 1.0108 5.2692 8.9552
t-1/y -0.0037 -0.0198 -0.0428 -0.0308 0.0367 0.0055 0.0315 0.0145 0.0101 0.0081 0.0156 0.0182 0.0121 0.0130 0.0022
3 x-y -0.3146 -0.2176 0.6326 0.3472 -0.3481 0.0083 0.0344 0.4480 0.0177 -0.1782 -0.1944 0.1367 -0.2511 -0.2558 -0.4006
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16 17 18
1.7334 4.6457 9.7658
-1.6056 0.6693 -1.9049
-5.2665 -1.1463 -0.8743
-0.0270 -0.0210 -0.0224
0.4355 0.1299 -0.0299
要求：⑴ 对表1中的残差序列进行自相关（auto-correlations）分析，观察结果是否平稳、独立，抑或具有某种趋势性（由于时间序列较短，最大时滞可以设为10，即计算10个自相关系数值）。
⑵ 将自回归结果与DW检验结果进行比较，由此可以得出什么结论？
⒉ 现有郑州市非农业人口的时间序列（1985－2000），要求：
⑴ 分析该序列的性质，并指出郑州市规模自身影响的最大时程； ⑵ 对序列进行平稳化处理，并检验处理结果；
⑶ 基于平稳化处理结果建立ARMA(p,q)模型，并将模型返回为非线性形式。
表2 郑州市非农业人口的时间序列
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
非农人口 101.02 102.19 106.5 111.08 113.28 115.97 118.02 119.99
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
非农人口 123.23 132.37 135.95 138.82 143.18 146.51 151.54 159.47
⒊ 某水文观测站测得一条河流断面的月平均流量，时间是从1972年6月到1973年5月共计一年（月序从头年6月到次年5月依次排列，见表3）。试根据表中数据作出该河流径流量变化的周期图，并指出可能存在的周期，最后将多元回归结果与直接计算结果对照。
表3 某河流某断面逐月平均流量值
月序 月径流量
1 2 3 4 5 6 7 8 9 38.3
10 11 41
119
12 176
269 339 189 241 160 105 68 48.7
⒋ 利用杭州市2000年人口密度分布数据进行空间自相关分析和功率谱分析（功率谱分析对象包括原始数据和自相关系数，原始数据见作业2），要求：
⑴ 指出人口密度的空间变化是否存在周期，为什么？
⑵ 指出人口分布影响的有效半径（当然是对于2000年的杭州而言）。
⒌ 现有北京市、天津市1949年到1998年50年的非农业人口时间序列，该序列明显具有一定的趋势性。提取趋势以后，时间序列似乎存在某种周期变化规律（数据以Excel格式给出，见附表）。要求：
⑴ 分别就北京和天津进行时间序列的自相关分析和功率谱分析，指出其人口变化是否具有某种隐含的周期规律，周期大约为多少？
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⑵ 对京、津人口序列进行互相关分析和功率谱分析，指出相互影响的最大时程。
⒍ 在本章的第一节我们就曾讨论，现实中的时间序列通常是由多种不同性质的序列以某种方式“合成”的。在合成的数据成分中，可能隐含着一定的周期规律，揭示这种隐含的周期对寻找地理系统演化的内在节律、解释其因果关系（如太阳黑子对地球的影响）以及进行发展预测（如预测中国洪灾发生的时间）具有巨大的理论意义和实践价值。我们知道，谱分析的主要功能之一就是揭示时间序列的周期特征。为了说明这个问题，我们可以对模拟数据进行功率谱分析。现在有三个模拟的时间序列，第一个序列是由周期性变化数据与随机数据相乘得到的，即时间序列的构成模型为
TSi?Ci*Ri
式中TSi表示模拟的时间序列，Ci表示周期序列，Ri表示随机序列。第二个时间序列是由周期性序列与随机序列加和形成的，即时间序列的构成模型是
TSi?Ci?Ri
第三个序列是由Excel的随机数发生器产生、然后单位化得到的，但却是基于周期性变化的概率值生成的。试对这三个模拟的时间序列进行谱分析，找出前两个序列的周期长度，并分析第三个序列是否还有某种周期的遗迹（原始数据以Excel格式给出）。
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