小学数学牛吃草问题综合讲解

由天下分享时间：2024/11/13 20:40:22 加入收藏我要投稿点赞

牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。

这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最大与最小问题中出现的。现暂且把这个题放下，看看以前我是如何讲牛吃草问题的。

例1 小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4 老草（路程差）：根据：路程差=速度差×追及时间

（10－4）×20=120 或（12－4）×15=120 追及时间=路程差÷速度差： 120÷（24－4）=6（天）

例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22 老草（路程差）： (50－22）×9=252 或 (58－22）×7=252

求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速 252÷6＋22=64(头) 现在回头看看仁华学校课本那道题吧!

例3 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管

分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.

解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得： 4a-b=6a-3b，即a=b.

这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得（xa-a）×2＝（2a-a）×15，化简，得 2ax-2a=15a，即 2xa=17a.（a≠0）所以x=8.5

因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.

把进水管看成\牛\排水管看成\草\满池水就是“老草” 排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1 满池水（路程差）： (2－1）×15=15 或 (4－1）×5=15 几个进水管：15÷2＋1=8.5（个)

我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程问题的解法来做呢之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1个排水管的效率

就是1/5。

当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。

两者之间差了（4－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是：（1/5－1/15）÷（4－2）=1/15 1个排水管的效率是：

4×1/15－1/5=1/15 或者 2×1/15－1/15=1/15

现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管（1/2＋1/15）÷1/15=8.5（个) 让我们用这个方法验证一下例2吧例2 一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天牛速：（1/7－1/9）÷（58－50）=1/252

草速： 58×1/252－1/7=11/126 或者 50×1/252－1/9=11/126 多少头牛：（1/6＋11/126）÷1/252=64（头)

有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周

这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。

下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有的草量。

所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9－15×9=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水

分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。

如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。

船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。

船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有水量为30－2×3=24。

如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2=12人。但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。

从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。有了这两个量，问题就容易解决了。

例3：12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）

分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。

12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10=33.6）。

21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的