教学设计
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．
三维目标
1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．
3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．
教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 1课时
教学过程
导入新课 思路1.(情境导入)
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．
思路2.(直接导入)
我们知道，对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数
函数、幂函数的增长差异．
推进新课
新知探究
提出问题
①在区间?0，＋∞?上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像. ③结合函数的图像找出其交点坐标.
④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.
⑤由以上问题你能得出怎样结论？ 讨论结果：
①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数． ②见下表与图1. x y＝2x y＝x2 y＝log2x 0.2 1.149 0.04 －2.322 0.6 1.516 0.36 －0.737 1.0 2 1 0 1.4 2.639 1.96 0.485 1.8 3.482 3.24 0.848 2.2 4.959 4.84 1.138 2.6 6.063 6.67 1.379 3.0 8 9 1.585 3.4 10.556 11.56 1.766 … … … …
图1
③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．
④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．
⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2)，
x y＝2x y＝x2 0 1 0 1 2 1 2 4 4 3 8 9 4 16 16 5 32 25 6 64 36 7 128 49 8 256 64 … … …
图2
容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.
但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3和下表所示．
x y＝2 y＝x2 x0 1 0 10 1 024 100 20 1.05E＋06 400 30 1.07E＋09 900 40 1.10E＋12 1 600 50 1.13E＋15 2 500 60 1.15E＋18 3 600 70 1.18E＋21 4 900 80 1.21E＋24 6 400 … … …
图3
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
综上所述，尽管对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.虽然幂函数y＝xn(n＞0)增长快于对数函数y＝logax(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．
应用示例
思路1
例1 试利用计算器来计算2500的近似值．
活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．
解：第一步，利用科学计算器算出 210＝1 024＝1.024×103； 第二步，再计算2100，因为
2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，
所以，我们只需要用科学计算器算出 1．02410≈1.267 7， 则2100≈1.267 7×1030； 第三步，再计算2500，因为 (2100)5≈(1.267 7×1030)5， 我们只需要用科学计算器算出 1．267 75≈3.274 0， 从而算出2500≈3.27×10150.
点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．
例2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．
活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结． 解：设Nt表示t世代种群的大小，Nt＋1表示t＋1世代种群的大小，
则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；…. 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：Nt＋1＝R0·Nt，其中R0为世代净繁殖率．
如果种群的R0速率年复一年地增长，则 N1＝R0N0， N2＝R0N1＝R20N0， N3＝R0N2＝R30N0， … Nt＝Rt0N0.
R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0
＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2
例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．
(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？
(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂价为p元，写出p＝f(x)． (3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？
数学北师大版必修一教学设计：指数函数、幂函数、对数函数增长的比较Word版含答案
