小学六年级奥数教案—11圆与扇形
本教程共30讲
圆与扇形
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的面积=πr2, 圆的周长=2πr,
本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。
例1 如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米)
分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为
πR-πr=π(R-r)
=3.14×1.22≈3.83(米)。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2 有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?
分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。
例3 左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。
分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。
例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?
分析与解:如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,
所以羊活动的范围是
例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。
分析与解:阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。
所以,扇形的半径是4厘米。
例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。
分析与解:解此题的基本思路是:
从这个基本思路可以看出:要想得到阴影部分S1 的面积,就必须想办法求出S2和S3的面积。
S3的面积又要用下图的基本思路求:
现在就可以求出S3的面积,进而求出阴影部分的面积了。
S3=S4-S5=50π-100(厘米2),
S1=S2-S3=50π-(50π-100)=100(厘米2)。
练习11
1.直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC长10厘米。如下图所示,三角形由位置Ⅰ绕A点转动,到达位置Ⅱ,此时B,C点分别到达B1,C1点;再绕B1点转动,到达位置Ⅲ,此时A,C1点分别到达A2,C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。
2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是多少厘米?
3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上(见右上图),绳长是4米,求狗所能到的地方的总面积。
5.右上图是一个400米的跑道,两头是两个半圆,每一半圆的弧长是100米,中间是一个长方形,长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。