高中数学竞赛集训训练题
1．且满足a?b?a?b，求所有可能的整数c,使得c?9ab. a,b是两个不相等的正数，
2．已知不等式
33221111a对一切正整数a均成立，求正整数a???...??n?1n?2n?33n?124的最大值，并证明你的结论。
223．设?an?为a1?4的单调递增数列，且满足an?1?an?16?8(an?1?an)?2an?1an，求{an}
的通项公式。
x23x?y?; 4．（1）设x?0,y?0,求证：
x?y4（2）设x?0,y?0,z?0,
x3y3z3xy?yz?zx???. 求证：
x?yy?zz?x2
5. 设数列,,,,,,?,,11212312132112k,?,,?，
kk?11问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.
6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每
1
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。
7．已知数列{an}满足a1?a（a?0,且a?1），前n项和为Sn，且Sn??记bn?anlg|an|（n?N），当a??a(1?an)， 1?a7时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整3数n，都有bn?bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
uuuruuur8. 在?ABC中，已ABgAC?9,sinB?cosAsinC，又?ABC的面积等于6.
（Ⅰ）求?ABC的三边之长；
（Ⅱ）设P是?ABC（含边界）内一点，P到三边AB、BC、AB的距离为d1、d2和d3，求
d1?d2?d3的取值范围.
9．在数列?an?中，a1，a2是给定的非零整数，an?2?an?1?an． （1）若a15?2，a16??1，求a2008；
（2）证明：从?an?中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
x2210. 已知椭圆2?y?1(a?1)，Rt?ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆
a交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为
2
27，求a的值。 8
11. 如图，椭圆C：x?y?1(a?b?0)，A1、A2、B1、B2为椭圆C的顶点．
22ab22（Ⅰ）设点M(x0,0)，若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的顶点时， |PM|取得最大值与最小值，求x0的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线l:y?kx?m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA2?BA2．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
12．如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面SAD为正三角形，且垂直于底面ABCD．
S（1）求四棱锥S?ABCD的体积；
（2）在边CD上是否存在一点E，使得SB?AE？请说明理由．
D
AB
13．（本小题满分15分） 关于x、y的方程C：x?y?2x?4y?m?0．
（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）在方程C表示圆时，若该圆与直线l：x?2y?4?0相交于M、N两点，且
22C45，求实数m的值； 5（3）在（2）的条件下，若定点A的坐标为（1，0），点P是线段MN上的动点，求直线AP|MN|?的斜率的取值范围．
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