(*)
因此，当力QM的作用点M的位置沿通过A点任一条射线(不包含A点)在平板上缓慢改变时，铰链支点B对板的作用力NBy保持不变. 同理，当力QM的作用点M沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点A对板的作用力NAy保持不变.
评分标准：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩?式各1分，(*) 2分，结论正确2分. 四、（24分）
（1）考虑小球沿径向的合加速度. 如图，设小球下滑至? 角位置时，小球相对于圆环的速率为v，圆环绕轴转动的角速度为? ．此时与速率v对应的指向中心C的小球加速度大小为 a1?v ① R2? ?z C r ?l
? ?? ?
R 同时，对应于圆环角速度?，指向OO?轴的小球加速度大小为 (?Rsin?)2 a?? ②
Rsin?该加速度的指向中心C的分量为
(?Rsin?)2 a2?a?sin?? ③
R该加速度的沿环面且与半径垂直的分量为
(?Rsin?)2 a3?a?cos??cot? ④
R由①③式和加速度合成法则得小球下滑至? 角位置时，其指向中心C的合加速度大小为 v2(?Rsin?)2 aR?a1?a2?? ⑤
RR在小球下滑至? 角位置时，将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量N、
垂直于环面的方向的分量T. 值得指出的是：由于不存在摩擦，圆环对小球的正压力沿环的切向的分量为零. 在运动过程中小球受到的作用力是N、T和mg. 这些力可分成相互垂直的三个方向上的分量：在径向的分量不改变小球速度的大小，亦不改变小球对转轴的角动量；沿环切向的分量即mgsin?要改变小球速度的大小；在垂直于环面方向的分量即T要改变小球对转轴的角动量，其反作用力将改变环对转轴的角动量，但与大圆环沿OO?轴的竖直运动无关. 在指向环心的方向，由牛顿第二定律有
v2?(?Rsin?)2 ⑥ N?mgcos??maR?mR合外力矩为零，系统角动量守恒，有
L0?L?2m(Rsin?)2? ⑦
式中L0和L分别为圆环以角速度?0和?转动时的角动量．
如图，考虑右半圆环相对于轴的角动量，在?角位置处取角度增量??， 圆心角??所对圆弧?l的质量为?m???l（??m0），其角动量为 2?R?L??m?r2???l?rRsin????Rr?z???R?S ⑧
式中r是圆环上? 角位置到竖直轴OO?的距离，?S为两虚线间
窄条的面积．⑧式说明，圆弧?l的角动量与?S成正比. 整个圆环（两个半圆环）的角动量为
m0?R21L?2??L?2??R?m0R2? ⑨
2?R22[或：由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴OO?的转动惯量J等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半，即
1J?m0R2 ⑧
2则角动量L为
1L?J??m0R2? ⑨ ]
2同理有
1L0?m0R2?0 ⑩
2 力N及其反作用力不做功；而T及其反作用力的作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故
1Ek0?Ek?2?mgR(1?cos?)?2?m[v2?(?Rsin?)2] ?
2式中Ek0和Ek分别为圆环以角速度?0和?转动时的动能．圆弧?l的动能为
111?Ek??m(r?)2???l?2rRsin???R?2?S
222整个圆环（两个半圆环）的动能为
21m012?REk?2??Ek?2???R???m0R2?2 ? 22?R24[或：圆环的转动动能为
11Ek?J?2?m0R2?2 ? ]
24同理有
12 ? Ek0?m0R2?04 根据牛顿第三定律，圆环受到小球的竖直向上作用力大小为2Ncos?，当
2Ncos??m0g ?
时，圆环才能沿轴上滑．由⑥⑦⑨⑩?? ?式可知，?式可写成
2m0?0Rcos?6mcos??4mcos??m0?2g22??m01??(m?4msin2?)2??0 ?
0??式中，g是重力加速度的大小.
（2）此时由题给条件可知当?=30?时，?式中等号成立，即有
23m0R?0?9? ??23?m?m0?4g?2?2??m0 ?1?(m?m)2?0??
或
?0?(m0?m)(93?12)m?23m02g ?
3(2m0?m)mm0R由⑦⑨⑩?式和题给条件得 ??m0m0(93?12)m?23m02m0g ? ?0??0?2m0+4msin?m0+m3(2m0?m)mR由?????式和题给条件得
223m0+(12?3)mm0?33m2 v?gR ?
6(2m0?m)m
评分标准：本题24分．第（1）问18分，①②③④⑤式各1分，⑥⑦式各2分，⑨⑩式各1分，?式2分，??式各1分，?式2分，?式1分；第（2）问6分，???式各2分．
五、（20分）
（1）设圆盘像到薄凸透镜的距离为v. 由题意知：u?20cm, f?10cm，代入透镜成像公式
111?? ① vuf得像距为
v?20cm ② 其横向放大率为
???v??1 ③ u
可知圆盘像在凸透镜右边20cm，半径为5cm，为圆盘状，圆盘与其像大小一样. （2）如下图所示，连接A、B两点，连线AB与光轴交点为C点，由两个相似三角形?AOC与?BB'C的关系可求得C点距离透镜为15cm. 1分
若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，此时圆形光阑在C点左侧. 1分 当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在B点成像，因而圆盘像的形状及大小不变，而亮度变暗. 2分
此时不存在圆形光阑半径ra使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半．1分
A O
C B' B
（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，此时圆形光阑在C点（距离透镜为15cm）的右侧. 由下图所示，此时有:
CB'=BB'=5cm, R'B'=2cm, 利用两个相似三角形?CRR'与?CBB'的关系，得 r?RR'=CR'5?2?BB'=?5cm?3cm ④ CB'5可见当圆盘半径r?3cm（光阑边缘与AB相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变
暗． 4分
C
R' B'
R
B
若进一步减少光阑半径，圆盘像就会减小．当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先像的一半高度处时，圆盘像的半径就会减小为一半，如下图所示．此时光阑边缘与AE
20相交，AE与光轴的交点为D，由几何关系算得D与像的轴上距离为cm. 此时有
720cm, DE'=cm, EE '=2.5cm,7利用两个相似三角形?DRR'与?DEE'的关系，得
DR'20/?72?EE'=?2.5?cm0.7 5 ra?RR'= c m ⑤ DE'20/7 DR'=可见当圆形光阑半径ra=0.75cm，圆盘像大小的半径的确变为（1）中圆盘像大小的半径的一半． 3分
67
DR' R E'
E
（4）只要圆形光阑放在C点（距离透镜为15cm）和光屏之间，圆盘像的大小便与圆形光阑半径有关． 2分
（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像的形状及大小不变，亮度变暗； 2分
同时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半． 1分
评分标准：第（1）问3分，正确给出圆盘像的位置、大小、形状，各1分；
第（2）问5分，4个给分点分别为1、1、2、1分； 第（3）问7分，2个给分点分别为2、3分； 第（4）问2分，1个给分点为2分；
第（5）问3分，2个给分点分别为2、1分．
六、（22分）
（1）整个电容器相当于2N个相同的电容器并联，可旋转金属板的转角为?时
C(?)?2NC1(?)
①
式中C1(?)为两相邻正、负极板之间的电容
C1(?)?A(?) 4?ks
②
这里，A(?)是两相邻正负极板之间相互重迭的面积，有
?12?2?2R(2?0??), 当??0????0????2?1R2(???), 当??????000?2A(?)??
12?2?R(???), 当0??????00?2?1?2?R2(2?0??), 当???0????0?2 ③
由②③式得
2014年第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案（全Word版）
