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I??1dz …1分
z?1z?z?1iza?2_____________________ 比较f（z）的C－R方程 if(z)也满足C-R方程
且四个偏导数在D内连续 ?if(z)在D内解析 ?7分
2 证明：假设在z?0解析的函数f?z?存在
?1?1?1?1且满足f?，f???（n?1,2?） ?2分 ??2dz =? …3分
z?122iz?(?a?a?1)z?(?a?a?1)????被积函数在z?1内的有一个 一阶极点z??a?a2?1
Resf(z)?1 z??a?a2?12a2?1 I=2?i212?i2a2?1?a2?1 z?1z16解：w?L??1?2??2???k?k2 z?1z?2121?1L?1??k21?2??12k??1 所以k?2 z?1 于是所求变换 w?22z?2?2z?1z?2 五 证明题（每小题7分，共14分）
1 证明： 设f(z)=u（x，y）+iv（x，y）
f(z)= u（x，y）-iv（x，y）
if(z)= v（x，y）-i u（x，y） f（z）在D内解析，ux?vy,uy??vx
if(z)四个偏导数为 vx，vy，-ux，-uy…5分
…6分
?2分 ?4分 ?6分 ?2分 ?4分
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____?2n?1?2n?2n?2n?点列??1?1?2n??=2n以z?0为聚点
在点列??1??1?1?2n??上,f??2n???2n
由解析函数的唯一性定理
在z?0的邻域内f?z?=z 但在这个邻域内又有f??1?1?2n?1???2n矛盾 ?在z?0解析的函数f?z?不存在 《复变函数论》试题库
梅一A111 《复变函数》考试试题（一）dz1、?|z?z|?1(z?z?0n__________.（n为自然数） 0)2.
sin2z?cos2z? _________. 3.函数sinz的周期为___________.
4.设
f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
?5分
?7分
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? 5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.
___n?0___6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
___z_1___7.若limn??z??z2?...?znn?，则nlim??n?______________.
____z___8.
Res(ezn,0)?________，其中n为自然数.
_______9. sinz_z的孤立奇点为________ .
____limf____10.若z)(z)?___0是f(z的极点，则z?z0.
____三.计算题（40分）：
_____f(z)?1____1. 设
(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式___.
______2. ?1|z|?1coszdz.
____3. 设
f(z)??3?2?7??1_C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).
___z?1____4. 求复数
w?z?1的实部与虚部.
___四. 证明题.(20分) ____1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在___D内
_为常数.
____2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支___, _并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
___《复变函数》考试试题（二）
__二. 填空题. (20分) ____1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__
__________2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则zlim?1?if(z)?________.
dz3. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） 0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .
n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________. 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.
10. Res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)
1. 求函数
sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实
值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.
??i3. 计算积分：I?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.
?sinzz?24. 求
(z??dz)22.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
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__________ 《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分)
11. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为___________.
z?1z1. 函数为常数. 2. 设如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内f(z)在区域D内解析. 证明：
f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得
2. 函数e的周期为_________.
3. 若zn?21?ni(1?1n??n)n，则limn??zn?__________.
4. sin2z?cos2z?___________.
dz5. ?|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数） 0)?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.
n?0f(z)?17. 设
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设ez??1，则z?___.
9. 若z0是
f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
010. Res(ezzn,0)?____.
三. 计算题. (40分)
11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.
??2. 试求幂级数?n!nnz的收敛半径.
n?n3. 算下列积分：
?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.
4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
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____当|z|?R时
|f(z)|?M|z|n，
证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
二. 填空题. (20分)
1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.
2. 若limzz1?z2?...?znn??n??，则nlim??n?______________.
3. 函数ez的周期为__________.
4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________
5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是_____________.
7. 设C:|z|?1，则
?C(z?1)dz?___.
8. sinzz的孤立奇点为________.
9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
0Res(ez10. zn,0)?_____________.
三. 计算题. (40分)
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1. 解方程z3?1?0 . _
_____设f(z)?ez2. __z2?1，求Res(f(z),?).
____z___3. ?_|z|?2(9?z2)(z?i)dz. . ____1__4. 函数f(z)?ez?1?1_z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）___.
_四. 证明题. (20分) ____1. 证明：若函数
f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.
_____2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根. ____ ___ __ ___
___《复变函数》考试试题（五）
__
___二. 填空题.（20分） ____1. 设z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.
_____2. 当z?___时，ez为实数.
_____3. 设ez??1，则z?___.
______4. ez的周期为___. ______5. 设C:|z|?1，则
?__C(z?1)dz?___.
______6. Res(ez?1_z,0)?____. ____7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D___内的
_____________。
__________8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.
10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则?1C(z?a)ndz?___.（n为自然数）
三. 计算题. (40分)
1. 求复数z?1z?1的实部与虚部.
2. 计算积分：
I??LRezdz，
在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3. 求积分：I??d?01?2acos??a2，其中0 4. 应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里?(z)在|z|?1上 解析，并且|?(z)|?1. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微. 2. 设 f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当 |z|?R时 |f(z)|?M|z|n， 证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数. 9欢迎下载。 精品文档 《复变函数》考试试题（六） 1. 一、 填空题（20分） 1. 若z?n?21n1?n?i(1?n)n，则limzn?___________. 2. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为____________________________. 3. 函数sinz的周期为_______________________. 4. sin2z?cos2z?_______________________. ??5. 幂级数?nzn的收敛半径为________________. n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、 计算题（30分） n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). z)?ez3、设f(z2?1，求Res(f(z),i). 4、求函数sinz3z6在0?z??内的罗朗展式. 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值. ________________________________________________________________________________________________________10欢迎下载。 ____三、 证明题（20分） 1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6. 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数. 3、若z0是f(z)的m阶零点，则z10是f(z)的m阶极点. ６．计算下列积分．（８分） (1) ??sinzdz； (2) ??z2?2z?2(z??z?4z2(z?3)dz． 2)2７．计算积分?2?d?05?3cos?．（６分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） ?(1) ?(1?i)nzn?； (2) (n!)2nn?1?1nnz． n?９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分） 三、证明题． １．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 二．填空题 1. ??2?in?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1 ?0n?1
复变函数期末考试题大全(东北师大)
