个性化教学辅导教案
学生姓名授课老师课 题
年 级日 期
(一轮提高)外接内切球、截面问题
1.理解求空间几何体外接球的通法，熟悉常见模型外接球的优解方法；
教学目标
2.掌握棱锥、直棱柱内切球的求法，了解一些其他几何体的内切球问题解法；3.通过空间几何体相关截面问题的求解，加深对空间几何体和点线面位置关系的认知．
学 科上课时间
复习检查空间几何体外接球、内切球
问题定位1
题类: 空间几何体的外接球问题已知三棱柱，答案
．，，
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，则此球的表面积等于
．
标签[结论] 直多棱柱的外接球半径公式;
[方法] 外接球问题的方法：抓球心，找小圆，定圆心，用勾股; [知识点] 球的定义；柱体的体积公式；解答设此球半径为，三棱柱高为，则底面积
，
解得又
，
，
，
，，
1
为直角三角形，的外接圆半径，
球的表面积
,
2题类: 空间几何体的内切球问题已知三棱锥的内切球的体积为
中，
底面．
，，
，，
，则该三棱锥答案．标签[结论] 空间多面体内切球的半径公式（等体积）;
[方法] 内切球问题的方法：等体积法（分割体积法）; [知识点] 棱锥的定义；球的定义；锥体的体积公式；
解答设内切球的半径为，以球心为顶点，三棱锥的三个面作为底面把大三棱锥分为四个小三棱
锥，
则可由等体积法得：
大的三棱锥体积等于四个小三棱锥体积之和，又
底面，又
，
，
由等体积得，
，，由球的体积
得，，，，
，，
，， ．原因分析精准突破2
外接球、内切球
（一）几何体的外接球常见模型：1.墙角模型
三条棱两两垂直，不找球心即可求出外接球半径．
策略：找三条两两垂直的线段，利用公式2.对棱相等模型三棱锥
(四面体)中，已知三组对棱分别相等(
，即，求出．)，可补形为长
方体，再求外接球半径．
策略：①画出一个长方体，标出互为异面直线的三组面对角线； ②设长方体的长宽高为
，；
，列方程组：
③根据墙角模型，
（特殊地，对于正四面体，有3.汉堡模型
直棱柱、圆柱的外接球，其外接球球心在其几何中心处．
，则，即）
．
3
如图，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接与圆柱，棱柱上下底面可以是任意三角形)．策略：①确定球心的位置， ②算出小圆 ③勾股定理：
半径
是，的外心，则(
面
；也是圆柱的高)；，即
．
4.切瓜模型
两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径，利用正弦定理解大圆三角形是通法．
如图，平面平面，且(即为小圆的直径)，则球心在大圆面上，利用
正弦定理即可求出外接球半径．
5.垂面模型
三棱锥中，当一条棱垂直于某个面时，球心离底面距离为这条棱长的一半． 如图
平面
，求外接球半径的步骤：（等效于汉堡模型）
策略：①将球心；画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆直径，连接，则必过4
②
为的外心，所以平面计算)，又
，算出小圆的半径(可利用正弦定理
；或的三条侧棱相等三棱锥的底面．
③利用勾股定理求外接球半径：如图，的射影是
的外心三棱锥在圆锥的底上，顶点也是圆锥的顶点．
策略一：①确定球心的位置，取 ②先算出小圆 ③勾股定理：
的半径
的外心，则三点共线；
(也是圆锥的高)；
，再算出棱锥的高
，解出．策略二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径（等效于切瓜模型）．
（二）几何体内切球问题
【策略】策略一：构造过球心的截面，然后利用几何关系进行求解； 策略二：（等积法推导的半径公式）空间多面体的每个面的面积为 的体积为，则该多面体的内切球半径为．
，多面体
3题类: 空间几何体的外接球问题如图，边长为的正方形
分别沿
、、中，点，分别是边，的中点，，若四面体
、、的四个折起，使，，三点重合于点顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
5
(一轮提高)外接内切球、截面问题(教师版)
