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中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案
《高等数学》（专科）
一、填空题
1．函数y?x2?4?1的定义域是 . x?1解. (??,?2]?[2,??) 。
2．若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)? 解. x?6 3．lim答案：1
正确解法：lim22 ．
x?sinx?________________
x??xx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知, 4?2a?b?0, 得b??2a?4, 又由
x2?ax?bx?a?2a?4lim2?lim??2, 知a?2,b??8 x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____, b?_____。 5.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??, 即lim??0, ?a?0,b?1 xx?0(x?a)(x?1)x?01?be?b1??xsin6．函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x? 。
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。 因为 lim?xsinx?01?0lim?(x?1)?1f(0)?1
x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。
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7. 设y?x?x?1??x?2?????x?n?, 则y2?n?1??(n?1)!
8．f(x)?x，则f(f?(x)?1)?__________。 答案：(2x?1)或4x?4x?1
224x?y29．函数z?的定义域为 。
ln(1?x2?y2)解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
?4x?y2?0?y2?4x?y2?4x?????2?222221?x?y?0?x?y?1????0?x?y?1 ??2?2221?x?y?1x?y?0???????z 的定义域为：(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x}
?10．已知f(x?y,x?y)?xy?xy,则f(x,y)? . 解 令x?y?u，x?y?v，则x?u?vu?v,y?，f(x?y)(x?y)?xy(x?y) 2222f(u,v)?u?vu?vuu2x?(u?v2)，f(x,y)?(x2?y2)
4222411．设f(x,y)?xy?x,则fx?(0,1)? 。fy?(0,1)? x2?y2∵ f(0,1)?0?0?0
fx?(0,1)?limf(?x,1)?f(0,1)?lim?x?0?x?x??x?0?x2?1?2 ?x?x?0fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0。 ?y?0?y?y12． 设z?x2?siny,x?cost,y?t3,则
解 13.
dz??2xsint?3t2cosy dtdz＝ 。 dtdd?df(x)dx? . ?dxdd?df(x)dx?f(x). 解：由导数与积分互为逆运算得，?dx14.设f(x)是连续函数，且
? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)? . 13x2?x?2233解：两边对x求导得3xf(x?1)?1，令x?1?7，得x?2，所以f(7)?1. 12 .. .
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1，则k?_________。 ?02??11b?kx?kx答案：∵??edx?lim??ed(?kx)
0b???2k01?kxb111 ?lim?e??lime?kb?
0b???kkb???kk∴k?2
15．若
??e?kxdx?16．设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)?xf(x,y)=______________.
??Df(x,y)d??y2，其中D:x2?y2?a2,则
4?a4x. 解 y?42 记A???DDf(x,y)d?，则f(x,y)?Ax?y2，两端在D上积分有：
，
其
中
A???Axd????y2d?DA??xd??0D（由对称性），
??yD2d???d???sin?d??002?a32?a44.
即 A?2?a44，所以，f(x,y)?y?22?a44x.
17．求曲线y?4ax,x?2 解： a2
3ay所围成图形的面积为 ，（a>0） 218.
?2n?12n?2x； n2n?12?解：令y?x，则原幂级数成为不缺项的幂级数
2n?1n?1y，记其各项系数为bn，因?n2n?1?bn2n?12n?12n?12?2?y?2?0?x?2，?lim??2lim?2为R?lim，则nn??bn??n??2n?12n?12n?1故?2?x?2.
1?当x??2时，幂级数成为数项级数?(2n?1)，此级数发散，故原幂级数的收敛区间
2n?1为(?2,2).
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高等数学(专科)复习题及答案
