三角换元法
摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。
大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式ax2?bx?c总是可以转化为k2?t2、k2?t或t2?k2的形式，其中t为变量，k为非负常量。现对于此类问题归纳如下：
1．形如y?f(x,a2?x2)的形式，其中f是x和
a2?x2的代数函数。令
x?asint,(a?0,?同理x???a,a?，
?2?t??2)此时，x???a,a?或令x?acost,(a?0,0?t??),
2．形如y?f(x,x2?a2)的形式，其中f是x和a2?x2的代数函数。令
x?atant,(a?0,?x?(??,??)。
?2?t??2),此时，x?(??,??)或令x?acott(a?0,0?t??),
3．形如y?f(x,x2?a2)的形式，其中f是x和x2?a2的代数函数。令
x?asect,(a?0,0?t?(a?0,??3,??t??),此时，x?(??,?a]?[a,??),或令x?acsct 22?2?t?0,0?t??2),其中x?(??,?a]?[a,??)。
注：上面替换中应注意，t的范围应满足：
1°根式中变量的取值要求。 2°二次根式的化简唯一。
以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：
一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。
例1． 解方程：x?xx2?1?35 12解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设x?sect,(0?t??2)，则方程变为
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sect?2sect35 ?tant12变形整理得：1225sin2t?576sin2t?576?0 ∴ sin2t? ∵ 0?t?2424或sin2t?? 2549?2
∴ 0?2t??
24247应舍去，由sin2t?得cos2t?? 492525745 当cos2t??时，得cost?，∴ x?
2554735 当cos2t??时，得cost?，∴ x?
255355故原方程的根为 x? 或 x?
43故 sin2t??说明：此题关键是去掉根式，易联想到sec??1?tan?的形式，换元也就水到渠成了。
22??x?y?9例2． 解方程组?。
??x?y?3222解：由题意知x?0,y?0,则设x?3sin?,其中???0,此时 x?y?3sin??3cos? ?32sin(?? ?32 即 sin(?????,那么y?3sin? ??2??4)
?4)?1
?32x????2
∴?? 从而 ?4?y?32?2??32x???2
所以方程组的解为??y?32?2?
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说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。 例3． 实数x,y满足x?1,y?1，且
(logax)2?(logay)2?loga(ax2)?loga(ay2)
当a?1时，求loga(xy)的取值范围。
解：此题直接求解较难，若令u?logax,v?logay,由x?1,y?1可得u?0,v?0，于是问题转化为：“已知u?0,v?0，且(u?1)?(v?1)?4,求u?v的取值范围”，再做三角变换，令u?1?2cos?,v?1?2sin?,???0,2??，
则 u?v?2?2cos??2sin? ?2?22sin(??22?4)
1 2?2???11 ∴ ????,?????
6312412由u?0,v?0得cos???,sin???∴当sin(??12?4)?1时，(u?v)max?2?22 当sin(???4)?sin?12或sin11?时，(u?v)min?1?3 12∴ 1?3?u?v?2?22 故 loga(xy)的取值范围是?1?3,2?22?。
??说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。
二、三角换元法在证明中的应用
nnn例4． 若a,b,c?R,a?b?c,n?3,n?N,则a?b?c。
*222证明：设
ab??sin?,?cos?,??(0,) cc2 ∵0?sin??1,0?cos??1 ∴sin??sin?,cos??cos? ∴ a?b?csin??ccos? ?c(cos??sin?)
nnnn2n2nnnnnn第 3 页 共 9 页
?c(cos??sin?)?c
故 a?b?c
说明：题目综合难度较大，但通过换元后利用单调性巧证，题目的关键在于放缩之后利用 sin??cos??1，为解题带来了便利。
例5． 已知x?0,y?0,2x?y?1，求证：
22nnnn22n11??3?22。 xy证明：由于x?0,y?0,2x?y?1，可设
x?则
12?sin?,y?cos2?,??(0,) 221121??? 22xysin?cos?22 ?2(1?cot?)?1?tan? ?3?(2cot??tan?) ?3?32
其中等号在 x?1?222,y?2?1 时成立。 2故
11??3?22。 xy22说明：含有条件不等式的证明因题而异，此题换元思想的来源在于sin??cos??1和
2x?y?1的类比联想。当然此题也可以采用整体换元。
例6． 设x?y?z?xyz，求证：
x(1?y)(1?z)?y(1?z)(1?x)?z(1?x)(1?y)?4xyz。 证明： ∵x?y?z?xyz，
故可设 x?tan?,y?tan?,z?tan?,(???????)
222222cot2??cot2?gcot2??cot2?gcot2??1 ∵ cot2?g1?tan2?1?tan2?1?tan2?1?tan2?1?tan2?1?tan2?g?g?g?1 ∴
2tan?2tan?2tan?2tan?2tan?2tan?第 4 页 共 9 页
1?x21?y21?y21?z21?z21?x2g?g?g?1 即
2x2y2y2z2z2x 两边同乘以4xyz,就得所证之式。
说明：此题换元思想在于：在非直角三角形中，其中三个内角?,?,?的正切之间有关系式tan??tan??tan??tan?gtan?gtan?，它虽然没有正式提出来，但相当重要。 三．三角换元法在解析几何中的应用。
例7．一条直线过点P（3，2）与 x,y轴的正半轴交于A 、B两点，若VABC的面积最小（O为原点），求此时直线的方程。 解：设?BAO??(0????2),则OA?3?2cot? Y OB?3?2tan?，那么
1OAgOB 21 ?(3?2cot?)(2?3cot?)
21 ?6?(9tan??4cot?)
2 ?6?6?12
SVABC?当且仅当9tan??4cot?时，即tan?? ∴ kAB?tan(???)??tan???P（3，2） X O 2,SVABC取最小值12。 32 3故 直线方程为2x?3y?12?0。
说明：此题已知直线上的点坐标，求其方程，在于求出其斜率，即tan?。因此三角思想由此而生，换元也顺理成章。
22例7． 在椭圆x?4y?4x上求点P(x,y)使d?x?y取最小。
22解：设P(2?2cos?,sin?),则 d?x?y
?(2?2cos?)?sin? ?5cos??8cos??3
222224?1? ?5?cos????
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(word完整版)2018高考数学专题复习三角换元法
