2021届高三数学一轮复习——函数的定义域与值域

2021届高三数学一轮复习——函数的定义域与值域

函数的定义域

求下列函数的定义域： 1

(1)y＝＋x2－1；

2－|x|(2)y＝25－x2＋lg cos x； x－1

－log2(4－x2)； 2x1

(4)y＝＋(2x－5)0.

log0.5?x－2?(3)y＝

???2－|x|≠0，?x≠±2，

解 (1)由?得?

2???x－1≥0，?x≤－1或x≥1.

所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}．

?2??－5≤x≤5，?25－x≥0，

(2)由?得? ππ

???cos x>0，?2kπ－2

3ππ3π

－5，－π?∪?－，?∪?，5?. 所以函数的定义域为?2??22??2??

?

(3)要使函数有意义，必须?x≠0，

?4－x>0，

2

x－1

≥0，2x

解得－2

???20，

(4)由?得?5

?2x－5≠0???x≠2，

55

2，?∪?，3?. ∴函数的定义域为??2??2?

思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母

不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．

(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．

函数的值域

例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； 2x＋1(2)y＝；

x－3(3)y＝2x－x－1； (4)y＝x＋1＋x－1.

解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，

再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．

2x＋12?x－3?＋77

(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，

x－3x－3x－37

显然≠0，∴y≠2.

x－3

故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t＝

x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，

115t－?2＋， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2??4?8

15?由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为??8，＋∞?. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝∴y＝x＋1与y＝x＋1＋

x－1在[1，＋∞)上均为增函数，

x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数，

∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．

结合本例(4)求函数y＝

解 函数的定义域为[1，＋∞)， y＝x＋1－

x－1＝

2x＋1＋x＋1＋

x＋1－x－1的值域．

，

x－1

x－1的值域为[2，＋∞)，

由本例(4)知函数y＝∴0<

1x＋1＋

∴0<

2x＋1＋

2≤， 2

x－1≤2， x－1

∴函数的值域为(0，2]． 思维升华 求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．

跟踪训练1 求下列函数的值域： 1－x2

(1)y＝；

1＋x2(2)y＝x＋41－x； 2x2－x＋1?1?

x>. (3)y＝

2x－1?2?