数学
专题三 导数与积分
考向预测
1考察基本函数的求导，导数的四则运算，复合函数的求导；
2.利用导数判断函数的单调性、讨论含参函数的单调性，已知单调性求参数范围；
3?利用导数求函数的极值与最值、讨论含参函数的极值与最值，已知函数极值与最值求参数范围; 4. 利用导数求解函数的恒成立与存在性问题；
5. 利用导数分析函数的零点，解决零点的逆向求参问题.
….匚知识与技巧的梳理
一、变化率 1.
函数y f X在Xo到Xo x之间的平均变化率.
y f X在X
已知函数Xo及其附近有定义，令
X Xo X Xo, y f Xo X
X。,
则当X o时，比值一Y 在点2.函数y
f Xo X f Xo
叫做函数 y f X 在 Xo 至y Xo
X之间的平均变化率.
Xo的瞬时变化率.
X Xo附近改变 X时，函数值相应地改变
已知函数y
在Xo附近有定义，当自变量在 Xo，如果当
Xo X
y
X趋近于0时，平均变化率
X
趋近于一个常数I ,
则常数I称为函数
在点Xo的瞬时变化率.
记作：当 X o时,
lim
X o
f Xo X f Xo
二、导数的概念
1. 函数y f X在点X Xo处的导数.
函数y
x在点x Xo处的导数是指该点处的瞬间变化率
即:
X 0
f Xo X f Xo lim
liX
m
o
Xo
【说明】 (1) f Xo与Xo的值有关，不同的 Xo，其导数值一般也不相同; (2)
f Xo与X的具体取值无关;
(3) 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 2?导函数.
如果函数y f X在开区间a,b内的每点处都有导数，此时对于每一个 函数.
f x ，称这个函数f
三、导数的运算
1?:数式
导 公
(1) 若f X
C
( C
是常则 f x o ?
数)，
1
(2) 若- f X
X (
是常数) ，则 f X X ?
(3) 若f
X sin X 则f ' X COS X ?
(4) 若f X
cos X , 则f' X
sin x ?
(5) x
若f
X
a
,X
则 f X
a In a,特别地，f x e ,
(6) 若f
X
log a X ，则f'
In a
1 ￡ ，特别地，f X
2?:数运算法
导 的 ; 则 W. 如果函数 f X ,g
X 有导数,
那么：
(1)
f X g X
f X g x ?
(2)
f X
g X
f X g
X f X g X，特别地，
y
蚪匚，记作f
X a,b ，都对应着 导数f x，丿X为函数y f X在开区间 a,b内的导x
则 f x
ex ?
In x ,则 f x - ?
x
C f x C f x ( C 为常数).
数学
g X
(3)
f X
2 f X g x (其中 gx 0). g2 x
3 ?复合函数求导(链式法则) 如果函数f x , u x有导数，那么,
四、切线问题
1已知切点求切线方程：
曲线y f X在点Xo,yo的切线的方程为 y yo f x° x xo . 2. 未知切点求切线方程：
过点xo, yo作曲线y f x的切线，点 xo, yo不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是
切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程.
五、导数与单调性 1.单调性与导数的关系. 设函数y f x在区间 a,b内可导. 0 ,贝y y f x在此区间是增函数； o，贝U y f x在此区间是减函数； (1)如果在 a ,b 内，恒有 f X
o ,那么函数y f x在这个区间内是常函数
(2)如果在 a ,b 内，恒有 f X
2. 利用导数判断函数单调性的步骤.
(3
)如果在 a ,b 内，恒有 f X
(1) 确定定义域(易错点：漏写定义域)
(2) 求导函数f x ；
(3) 解f x o (或f x o)，得到单调递增(减)区间; (4) 在定义域范围内取补集，得到减(增)区间.
六、导数与极值 1极值的定义.
(1) 函数y f x在点x a的函数值比它在点 x a附近的函数值都小，则把 a叫做f x的极小值点,
数学
f x°
数学
f a叫做f x的极小值.若y f x在点x a处可导，f x是其导数，就可以用导数描述函数在极 小值点附近的特征： f a 0 ；而且在点x a附近的左侧f x 0，右侧f x 0 .
(2) 函数y f x在点x b的函数值比它在点 x b附近的函数值都大，则把 b叫做f x的极大值点,
f b叫做f x的极大值.若y f x在点x b处可导，f x是其导数, 值点附近的特征：f b 0 ；而且在点x 注意：极值点指x的取值，极值指相应的 f 2?求可导函数极值的步骤.
(1) 求函数的定义域；
(2) 求导数，并判断函数的单调性； (3) 画表判断函数的极值.
七、积分
1.定积分的性质.
b
b
(1)
kf a
x dx
k a
f x dx
；
b b b
(2)
f
x g x dx
f x dx g
a
a
a
b c c
(3)
f x dx
g x dx
f x dx .
a
b
a
2?常用定积分公式.
b
咕
(1)
1
x
n 1 b a
n 1
x dx
a
n 1
b
(2) cdx CX a ；
a
b
(3) sin xdx cosx
a b
(4) cosxdx sin x a
a
b
(5)
-dx In x
b附近的左侧f x 0，右侧f x 0 .
x的取值.
x dx ；
数学
x |
6) edx e a
x b
(
a
b
x
(7 ) adx a
x
a b In a a
【理数】2020届高考二轮精品复习资源专题三导数与积分
