2002考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)错误!未找到引用源。= .
(2)已知函数错误!未找到引用源。由方程错误!未找到引用源。确定,则错误!未找到引用源。= .
(3)微分方程错误!未找到引用源。满足初始条件错误!未找到引用源。的特解是 . (4)已知实二次型 错误!未找到引用源。经正交变换错误!未找到引用源。可化成标准型错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。= .
(5)设随机变量错误!未找到引用源。服从正态分布错误!未找到引用源。,且二次方程错误!未找到引用源。无实根的概率为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。＝ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数错误!未找到引用源。的下面4条性质:
①错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处连续; ②错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的两个偏导数连续;
③错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处可微; ④错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的两个偏导数存在． 若用“错误!未找到引用源。”表示可由性质错误!未找到引用源。推出性质错误!未找到引用源。,则有
(A) ②错误!未找到引用源。③错误!未找到引用源。①. (B) ③错误!未找到引用源。②错误!未找到引用源。①. (C) ③错误!未找到引用源。④错误!未找到引用源。①. (D) ③错误!未找到引用源。①错误!未找到引用源。④.
(2)设错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,则级数错误!未找到引用源。
(A) 发散. (B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.
(3)设函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内有界且可导,则
(A) 当错误!未找到引用源。时,必有错误!未找到引用源。. (B) 当错误!未找到引用源。存在时,必有错误!未找到引用源。. (C) 当错误!未找到引用源。时,必有错误!未找到引用源。. (D) 当错误!未找到引用源。存在时,必有错误!未找到引用源。.
(4)设有三张不同平面的方程错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。,分布函数分别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。,则
(A) 错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。必为某一随机变量的概率密度.
(B) 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。必为某一随机变量的概率密度.
(C) 错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。必为某一随机变量的分布函数.
(D) 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。的某邻域内具有一阶连续导数,且错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时是比错误!未找到引用源。高阶的无穷小,试确定错误!未找到引用源。的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。在点错误!未找
到引用源。处的切线相同,写出此切线方程,并求极限错误!未找到引用源。.
五、(本题满分7分)
计算二重积分错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。.
六、(本题满分8分)
设函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内具有一阶连续导数,错误!未找到引用源。是上半平面(错误!未找到引用源。＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(错误!未找到引用源。),终点为(错误!未找到引用源。).记
错误!未找到引用源。
(1)证明曲线积分错误!未找到引用源。与路径错误!未找到引用源。无关; (2)当错误!未找到引用源。时,求错误!未找到引用源。的值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数错误!未找到引用源。满足微分方程错误!未找到引用源。; (2)利用(1)的结果求幂级数错误!未找到引用源。的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为错误!未找到引用源。坐标面,其底部所占的区域为错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,小山的高度函数为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.
(1)设错误!未找到引用源。为区域错误!未找到引用源。上一点,问错误!未找到引用源。在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?
若记此方向导数的最大值为错误!未找到引用源。,试写出错误!未找到引用源。的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在错误!未找到引用源。的边界线错误!未找到引用源。上找出使(1)中错误!未找到引用源。达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。均为错误!未找到引用源。维列向量,其中错误!未找到引用源。线性无关,错误!未找到引用源。,如果错误!未找到引用源。,求线性方程组错误!未找到引用源。的
通解.
十、(本题满分8分)
设错误!未找到引用源。为同阶方阵,
(1)若错误!未找到引用源。相似,证明错误!未找到引用源。的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当错误!未找到引用源。均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量错误!未找到引用源。的概率密度为 错误!未找到引用源。
对错误!未找到引用源。独立地重复观察４次,用错误!未找到引用源。表示观察值大于错误!未找到引用源。的次数,求错误!未找到引用源。的数学期望.
十二、(本题满分7分)
设总体错误!未找到引用源。的概率分布为 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 0 1 2 3 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未错误!未找找到引用到引用源。 源。 其中错误!未找到引用源。是未知参数,利用总体错误!未找到引用源。的如下样本值
错误!未找到引用源。
求错误!未找到引用源。的矩估计值和最大似然估计值.
参考答案 一、填空题
(1)【分析】 原式错误!未找到引用源。
(2)【分析】 方程两边对错误!未找到引用源。两次求导得
错误!未找到引用源。 ①
错误!未找到引用源。 ②
以错误!未找到引用源。代入原方程得错误!未找到引用源。,以错误!未找到引用源。代入①得错误!未找到引用源。,再以错误!未找到引用源。代入②得错误!未找到引用源。
(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.
令错误!未找到引用源。(以错误!未找到引用源。为自变量),则错误!未找到引用源。
代入方程得 错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。(或错误!未找到引用源。,但其不满足初始条件错误!未找到引用源。). 分离变量得 错误!未找到引用源。
积分得 错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。对应错误!未找到引用源。);
由错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。于是
错误!未找到引用源。积分得错误!未找到引用源。. 又由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。所求特解为错误!未找到引用源。
(4)【分析】 因为二次型错误!未找到引用源。经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵错误!未找到引用源。的特征值,所以错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的特征值. 又因错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。
(5)【分析】 设事件错误!未找到引用源。表示“二次方程错误!未找到引用源。无实根”,则错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。依题意,有 错误!未找到引用源。 而 错误!未找到引用源。 即 错误!未找到引用源。
二、选择题
(1)【分析】 这是讨论函数错误!未找到引用源。的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,错误!未找到引用源。的两个偏导数连续是可微的充分条件,若错误!未找到引用源。可微则必连续,故选(A).
2002考研数学一真题及答案
