于是k∑ (ak＋1－ak)＝k∑ (2k－1)， ＝1＝1所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________. 答案 (1)10 (2)21
解析 (1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.
(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. 命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.
S12S10
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于( )
1210A．－2 018 C．－2 019 答案 (1)114 (2)A
解析 (1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3. 又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，
即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114. Sn
(2)由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1，
n∴
S2 018S1
＝＋(2 018－1)×1 2 0181
B．－2 016 D．－2 017
nn
＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S2 018＝－2 018.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d?所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
am－an
＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)m－n
②S2n－1＝(2n－1)an.
(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( )
A．58 B．88 C．143 D．176
Sn3n－2a7
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
Tn2n＋1b737
A. 2739C. 29
答案 (1)B (2)A
11?a1＋a11?11?a4＋a8?
解析 (1)S11＝＝
22＝
11×16
＝88. 2
38B. 2840D. 30
a1＋a13
×132a72a7a1＋a13S13
(2)＝＝＝＝ b72b7b1＋b13b1＋b13T13
×132＝
6．等差数列的前n项和及其最值
考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.
典例1 (1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于( ) A．45 C．75
B．60 D．90
3×13－237
＝.
2×13＋127
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________. 解析 (1)由题意得a3＋a8＝9，
10?a1＋a10?10?a3＋a8?10×9
所以S10＝＝＝＝45.
222(2)方法一 设数列{an}的首项为a1，公差为d，
?
则?100×99
100a＋d＝10，?2
1
10×910a1＋d＝100，
2
?解得?11
d＝－?50.
1 099a1＝，100
110×109
所以S110＝110a1＋d＝－110.
2
?a11＋a100?×90
方法二 因为S100－S10＝＝－90，
2所以a11＋a100＝－2， ?a1＋a110?×110
所以S110＝ 2＝
?a11＋a100?×110
＝－110.
2
答案 (1)A (2)－110
典例2 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答
解 ∵a1＝20，S10＝S15，
10×915×14
∴10×20＋d＝15×20＋d，
225
∴d＝－.
3
5565－?＝－n＋， 方法一 由an＝20＋(n－1)×??3?33得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0. ∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值， 12×11?5?
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×?－3?
2＝130.
n?n－1??5?方法二 Sn＝20n＋·?－3?
25125＝－n2＋n
662553 125n－?2＋＝－?. 2?6?24
∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130. 方法三 由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
1．(2016·重庆一诊)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为( ) A．9 C．24 答案 C
解析 由an＋1－an＝2，知{an}为等差数列且公差d＝2，∴由a2＝5，得a1＝3，a3＝7，a4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.
2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
5534A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 4323答案 D
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 2a＋d＝3a1＋9d，??1依题意有?5
2a＋d＝，?2?1
B．22 D．32
?a＝3，?1?d＝－6，
1
4
故选D.
3．(2017·佛山调研)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为( ) A．8 C．10 答案 C
解析 由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51， 所以an－1＝17，又a2＝3， n?a2＋an－1?Sn＝＝100，解得n＝10.
2
1
4．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于( )
2A．24 C．66 答案 D
1
解析 方法一 由a1＋8d＝(a1＋11d)＋6，
2
B．48 D．132 B．9 D．11
得a1＋5d＝12，∴a1＝12－5d. 11×10
又S11＝11a1＋d＝11a1＋55d
2＝11(12－5d)＋55d＝132.
1
方法二 由a9＝a12＋6，得2a9－a12＝12.
2
由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝
11?a1＋a11?11×2a6
＝＝132，故选D. 22
5
5．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值
7为( ) A．7 C．7或8 答案 C
40－5n55
解析 由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7
777项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或n＝8，故选C. Sn＋10
*6.设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则2的最大an值是( ) A．310 C．180 答案 D
解析 设数列{an}的公差为d， 依题意得2S2＝S1＋S3，
因为a1＝1，所以22a1＋d＝a1＋3a1＋3d， 化简可得d＝2a1＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， n?n－1?
Sn＝n＋×2＝n2，
2Sn＋10?n＋10?2n＋102
所以2＝＝()
an?2n－1?22n－1
B．212 D．121 B．8 D．8或9
?1?2n－1?＋21?2?2 ＝?2
?2n－1???
211
＝?1＋2n－1?2≤121， 4??故选D.
高考数学一轮复习专题：等差数列及其前n项和(教案及同步练习)
