第4讲正余弦函数图像及其性质(知识点串讲)解析版

由天下分享时间：2025/1/9 12:56:38 加入收藏我要投稿点赞

第4讲正余弦函数图像及其性质（沪教版2020必修二）

【知识网格】

知识梳理一

1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y?sinx，x?[0,2?]的图象中，五个关键点是：

3??(0,0) (,1) (?,0) (,?1) (2?,0)

222、正弦函数y?sinx,x?R的图像：

把y?sinx，x?[0,2?]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2?，就得到y?sinx,x?R的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：R

（2）值域：??1,1? ；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以|sinx|?1，即

?1?sinx?1，也就是说，正弦函数的值域是[?1,1]亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数

由sin(?x)??sinx可知：y?sinx为奇函数，正弦曲线关于原点O对称（4）单调递增区间：?2k?? （5）单调递减区间：?2k?? （6）对称中心：（k?,0）；（7）对称轴：x?k???????,2k???,k?z； 22?2,2k??3??,k?z； ?2?????

2 （8）最值：当且仅当x?2k?? 当且仅当x?2k?? （9）最小正周期：T?2?

?2,y取最大值ymax?1；

3?,y取最小值ymin??1。 2一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期由此可知?,?4?,?2?,2?,4?,?,2k?(k?z且k?0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k?(k?z且k?0)都是它的周期，最小正周期是2? 注意：

1.周期函数定义域x?M，则必有x?T?M, 且若T?0，则定义域无上界；T?0则定义域无下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数;

3.T往往是多值的（如y?sinx中?,?4?,?2?,2?,4?,?都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数y?cosx,x?R的图像：

（1）定义域：R （2）值域：??1,1? （3）奇偶性：偶函数

（4）单调递增区间：?2k???,2k??，k?Z （5）单调递减区间：?2k?,2k????,k?Z （6）对称中心：（k??（7）对称轴：x?k?

（8）最值：当且仅当x?2k?,y取最大值ymax?1；当且仅当x?2k???,y取最小值ymin??1。（9）最小正周期：T?2?；

知识点一、正余弦函数的图像

例1 .2019·上海长宁区·高一期末）函数y?cosx?tanx（0?x?的（） A． C．【答案】C

【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.

B．。 D．

?2,0）

?3?且x?）的图像是下列图像中22?3??sinx,0?x?或??x?,??22【详解】依题意，y?cosx?tanx??.由此判断出正确的选项为C.