第3讲 圆锥曲线的综合问题
1．(2016·四川改编)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y＝2px(p>0)上任意一点，
2
M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为______．
答案
2 2
2
?p?设P点坐标为?y0，y0?，显然，当y<0
解析 如图，由题意可知F?，0?，?2p?0
?2???
→→
时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋
y0
→
31→2→?ypy0?222→1→→1→→
FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝?＋，?，kOM＝2＝≤＝，
3333y0py02p222?6p33?
＋＋6p3py0当且仅当y0＝2p时等号成立．
2．(2016·课标全国乙)设圆x＋y＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，
2
2
2
2
20
Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解 (1)因为AD＝AC，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED， 故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．
43
2
2
x2y2
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
y＝kx－1，??22由?xy＋＝1??43
2
得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0.
2222
8k4k－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋312
所以MN＝1＋k|x1－x2|＝
2
2
k2＋1
. 24k＋3
k1
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)， 点A到m的距离为
2
，
4k＋3
. k2＋1
2k2＋1
所以PQ＝2
?2?2
4－?2?＝4?k＋1?
2
故四边形MPNQ的面积
S＝MN·PQ＝12
121
1＋2. 4k＋3
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
x2y2
例1 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构
ab成边长为2的正方形． (1)求椭圆C的方程；
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且点P(4,3)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1·k2取最大值时，求直线l的方程． 解 (1)由题意可得b＝c＝2，a＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1.
42(2)当直线l的斜率为0时，k1k2＝
333×＝. 4－24＋24
x2y2
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立?
??x＝my＋1，
2
2
??x＋2y＝4，
整理得(m＋2)y＋2my－3＝0，
22
故y1＋y2＝
－2m－3
，y1y2＝2. 2
m＋2m＋2
又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1， 3－y13－y2
因此k1·k2＝·
4－x14－x2＝
3－y13－my1
3－y2
3－my2
＝
9－3y1＋y2＋y1y2
2
9－3my1＋y2＋my1y2
2
3m＋2m＋534m＋1＝＝＋2. 2
4m＋648m＋12令t＝4m＋1，只考虑t>0时， 32t3故k1·k2＝＋2＝＋
4t－2t＋254
2
≤1，当且仅当t＝5时取等号． 25t＋－2
t综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0. 思维升华 解决范围问题的常用方法：
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
跟踪演练1 如图，已知椭圆：＋y＝1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直
4线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E，F两点．
x2
2
→→
(1)若ED＝6DF，求k的值； (2)求四边形AEBF面积的最大值．
解 (1)依题设得椭圆的顶点A(2,0)，B(0,1)， 则直线AB的方程为x＋2y－2＝0. 设直线EF的方程为y＝kx(k>0)．
设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1 x??＋y2＝1， 联立直线l与椭圆的方程?4 ??y＝kx得方程(1＋4k)x＝4. 故x2＝－x1＝ 21＋4k2 2 2 2 消去y， ， →→ 由ED＝6DF知，x0－x1＝6(x2－x0)， 1510得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝， 2 7771＋4k由点D在线段AB上，知x0＋2kx0－2＝0， 得x0＝ 2210 ，所以＝， 1＋2k1＋2k71＋4k2 232 化简，得24k－25k＋6＝0，解得k＝或k＝. 38 (2)根据点到直线的距离公式，知点A，B到线段EF的距离分别为h1＝41＋k又EF＝， 2 1＋4k所以四边形AEBF的面积为 2 2k1＋k，h2＝2 11＋k2 ， S＝EF(h1＋h2)＝ 2 1 2 21＋2k1＋4k2 4k2 1＋4k＝2 1＋4k＋4k＝22 1＋4k1＋ 4 1＋ ＝2 ≤22， 14k＋ k11 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号， k2所以四边形AEBF面积的最大值为22. 热点二 定点、定值问题 1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习文
