2015年10月18日杰的高中数学组卷
一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．
2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x+（y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x+（y﹣3）=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点． （Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
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7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）+y=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．
8．（2007?）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． （Ⅰ）求k的取值围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．
10．过原点O作圆x+y﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．
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2015年10月18日杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 考直线和圆的方程的应用． 点： 专计算题；压轴题． 题： 分（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以析： 先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；
（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．
解解：
答： （1）证明：点（t＞0），
因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． 所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）． 于是圆C的方程是．则．
由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上， 于是多边形EACB为Rt△AEB， 其面积．
所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．
（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，kMN=﹣2．
所以由kEC?kMN=﹣1，得t=2，
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所以圆C的方程是（x﹣2）+（y﹣1）=5．
点（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，评： 故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；
（2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．
2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 考直线与圆的位置关系；二次函数的性质． 点：
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高中数学经典高考难题集锦(解析版)
