高等数学测试题答案版
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第七章测试题答案
一、填空（20分）
22351、xy????xy??xy?x是 3 阶微分方程；
2、与积分方程y??xx0??y??f(x,y)f(x,y)dx等价的微分方程初值问题是?；
y?0??x?x03、已知微分方程
y???2y??y?0，则函数y?x2ex不是 （填“是”或“不是”）
该微分方程的解；
4、设y1和y2是二阶齐次线性方程y???p(x)y??q(x)y?0的两个特解，C1,C2为任意常数，则y?C1y1?C2y2一定是该方程的 解 （填“通解”或“解”）；
25、已知y?1、y?x、y?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的2通解为：y?C1(x?1)?C2(x?1)?1；
6、方程
y???4y??5y?0的通解为y?e2x(C1cosx?C2sinx).
*7、微分方程y???4y?cosx的特解可设为y?Acosx?Bsinx；
8、以x1?x2?2为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： y???4y??4y?0；
x*x9、微分方程y???y?e?1的特解y形式为：y?axe?b ；
x10、微分方程y????y???4y??4y?0的通解：C1e?C2cos2x?C2sin2x。
二、（10分）求y??y?x的通解. x解：由一阶线性微分方程的求解公式
y?e??xdx1(?e?x1xdx?C)，
三、（10分）求解初值问题y??xy?0,y(0)?2. 解：y??xy?0
1分离变量dy??xdx，
yx?x2?lnC，y?Ce2， 两边同时积分 lny??2x2?22又由y(0)?2，得C?2，故y?2e
四、（15分）曲线的方程为y?f(x)，已知在曲线上任意点(x,y)处满足y???6x，且在曲线上的(0,?2)点处的曲线的切线方程为2x?3y?6，求此曲线方程。 解：y???6x得y??3x2?C1，y?x3?C1x?C2， 又由y(0)??2,y?(0)?22知，C1?,C2??2， 332x?2 3xyxy故曲线方程为y?x3?x五、（15分）求齐次方程(1?2e)dx?2e(1?)dy?0的通解.
ydx??解：原方程可化为dyx2e(1?)y1?2exyxy，
dxdux?u?y令u?，则x?yu，.
ydydydu2eu(u?1)du2eu?u????原方程变为：u?y即y. udydy1?2e1?2eu2eu?1dydu??分离变量，得u
y2e?uu两边积分得：ln(2e?u)??lny?lnC
u即2e?u?C. y
x以代入上式中的u，化简得方程的通解为： y2ye?x?C.
??y3y???1?0六、（15分）求解初值问题：?.
?y?1,y?0?x?1?x?1解：设y??p，则y???pxydp，代入方程得： dyy3pdp?1?0，分离变量并积分，得： dy121?21p?y?C，即p??y?2?C. 222当x?1时，y?1,p?0，得C??1. 则p?dy??y?2?1. dx2分离变量并积分，得：?x?C1??1?y 由yx?1?1，得C1??1.
22则?(x?1)??1?y 即y??2x?x .
七、（15分）求方程
y???4y??4y?3?2x的通解.
解：该方程对应的齐次方程的特征方程为
r2?5r?4?0，解得r1??4,r2??1
则Y?C1e?4x?C2e?x.
由于??0不是特征根，所以设y*为
y*?ax?b，
111代入原方程，得：a??,b?.
28*y??所以
111x?. 28
该二阶常系数非齐次线性方程的通解为
y?Y?y*?C1e?4x?C2e?x?111x?. 28
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