. 第十一章 能量方法
第十一章答案
11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在F力作用下，桁架的变形能。
FN1?FN2?2FF, FN3? 222F 1 A l 2 3 l l
B ?2?2?F?22?F?ll22??2?F(x)2V???Ndx?????
2EA2EA2EA3F2l2?. 4EA
11.2计算图示各杆的应变能。
Me 2A 2A A A B l (a)
F2lF2l3F2l??(a) V??. 2EA4EA4EAA A C l F A A x 1 C l/3 EI EI B 2l/3 x2 Me /l Me/l (b) ?Me??Me?xx2?1???l/32l/3ll?dx???dx (b) V????12?002EI2EIl/322l/3??x2?Me2??x12?Me2l?. ???????2???2EIl?3?0?3?018EI??2250 / 6
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11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm，材料为45钢，E = 210GPa，G = 80GPa。试计算轴的应变能。
由扭转引起的应变能：
0.36kN (b) 1kN V?2??0.20802dx?0.032 2GIp200 2000 由弯曲引起的应变能：
V?1?2?0.20(531.4x)2dx?0.029 2EIV??V?1?V?2?0.061J.
11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。
Me=Fl (Fl?Fx)FlV???dx?
02EI6EIl223F EI x l 而
(Fl)2F2l3V?1??dx?
02EI2EIl(?Fx)2F2l3V?2??dx?.
02EI6EIl不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。
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11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩Me，试用互等定理，并借助于附录E，求Me
A C 跨度中点C的挠度wc。
B D a l/2 l/2 （见课本下册p40例12-4）
11.6 图示刚架的各杆的EI皆相等，试求截面A、B的位移和截面C的转角。 q F ab l/2 A x A x 12C x3 x h l h
B (b) (a)
(a) A点：在A点加一个向下的单位力。M(x1)=0, M(x2)=Fx2, M(x3)=Fb
M(x1)?x1,M(x2)?Fx2,M(x3)?0 ???h0M(x3)M(x3)Fabhdx3??.
EIEIC点：在C加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。M(x2)?1, M(x3)?1
???bhM(x)M(x)Fb2FbhM(x2)M(x2)33?dx2??dx3?.
02EIEIEIEI0qlqx21(b) A点：在A点加一个向下的单位力。M(x)?x?, M(x)?x
2221?qlxqx2?x???l/22225ql4??. ??2?dx?0EI384EIB点：在B点加一个向右的单位力。M(x)?h
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. qlxqx2h(?)lql3h22. ???dx?0EI12EI11.7 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点C处的水平位移和
2F 垂直位移。
杆号 FN 1 F 0 0 l 2 -F 0 0 l 3 -2F 4 F -1 -1 l 5 0 0 0 l F B C FN水平 FN垂直
l 2 0
A l D
2l 水平位移：
???FNiFNiliEAi?1 22FlFl ???EAEA??(1?22)Fl3.828Fl??.
EAEAn垂直位移： Fl. ???EA11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm2，E索 = 177GPa。F = 20kN，(a) 假设横梁ABCD为刚体，求C点的垂直位移。(2) 若不把ABCD假设为刚体，且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m2，试再求C点的垂直位移。 (1) ??2?11?F?0.8?7.89?10?4m. ??EA?33?0.4A B 60 ° 60 ° D C F 400 (2) ??7.89?10?4?2?0Fx24dx EI800 400 ?7.89?10?4?1.48?10?4?9.37?10?4m.
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l .
11.9 等截面曲杆BC的轴线为四分之三的圆周。若AB杆可视为刚性杆，试求在F力作用下，截面B的水平位移及垂直位移。
水平位移：M(?)=FRcos?, M(?)?Rsin?
???3?20C F A B R FRsin?cos?FRd??.
EI2EI33垂直位移：M(?)??R(1?cos?)
???3?20FR3cos?(1?cos?)(4?3?)FR3d??
EI4EI3.36FR3?.
EI
11.10 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。力F垂直于圆环中线所在的平面。试求两个F力作用点的相对线位移。
M(?)=FRsin?, M(?)?Rsin? T(?)=FR(1-cos?), T(?)?R(1?cos?)
F O R ???2?0322?FR(1?cos?)FR3sin2?d???d?
0EIGIpA B F 3?FR3. ??EIGIp
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?FR3 .
11.11 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。在横截面A与B处受一对集中力F作用。力F在圆环中线所在的平面内。试求两个F力作用点的相对线位移。 M(?)=FRsin?, M(?)?Rsin?
???2?0FR3sin2??FR3d??. EIEIOR O F θA
F B 11.12 图示轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆，在自由端B作用垂直荷载F，设EI和GIP为已知，试求在F力作用下端面B的垂直位移。
M(?)=FRsin?, M(?)?Rsin? T(?)=FR(1-cos?), T(?)?R(1?cos?)
R O B 2????/20?/2FR(1?cos?)FRsin?d???d?
0EIGIp323F (3??8)FR3. ??4EI4GIp55 / 6
?FR3
材料力学答案第十一章
