2
Px03
（16） 2vv
0 Py3
cosP1
AxBxCx
sin
m3
AyByCy
（17） m这时系统质
（19）
心的坐标为
sin P3
（18）
不难看出，此时质心正好在球的正下方，至球的距离
0BPy
为，而球相对质心的速度 y PBBBP12
sin BPxBxPx03
（20）
（21） 可见此时球的
速度正好垂直，故整个系统对质心转动的角速度 BBP
（22） ylP若使球先
于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板ABC y 碰撞后，整个系统至少应绕质心转过角，即杆至少ABπ/2转到沿y方向，如图所示. 系统绕质心转过所需时间 π/2 A 1π 2
2
（23）
x O 在此时间内质心沿x方向向右移动的距离 P B （24） 图2
则球先于球与挡板碰撞. 由以上有关各式得 （
26
）
Px
若 C （25）
PP 17
即
(27) 评分标准： 本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分. 四、 参考解答： 1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效C电容满足下式 t11n （1） C2Ct1即 2C （2）
t1n
式中 S
（3） 下式 Ct2
虚线大方框中无限网络的等效电容满足
（4）
t22
即 C （5） 整个电
容网络的等效电容为 CC2Ct1t2 （6）
等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容
器极板上电量之和）
（7）
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行
板电容器联成的网络的等效（8）
满足下式 电容Ct1
由此得
电容网络的等效电容为
（9）
t1
整个（10）
整个电容网络的等效电容器带的 （11）
电荷量为
在电容器a两极板的距离由d变为2d后，
等效电容器所带电荷量的改变为
（12）
电容器储能变化为
（13）
在此过程中，电池所做的功为
（14）
(3
外力所做的功为
（15） 设金属薄
板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为，金属薄板
左侧带电荷量为，右侧带电荷量为，a的右极板带
并联的电容器左右两
电荷量为，与
极板带电荷量分别为和.由于电容器a和与其并联的
电容器两极板电压相同，所以有
（16）
由（2）式和上式得
（17）
d
SSC
上式表示电容器a左极板和与其并
联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的Ct2极板上电荷量之和）. 整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即 19
（18）
a
(1)
c2CCt2将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器电荷量
(31
13)2
(
5)(213) 2
)
左极板带
（19）
kd(3d评分标准： 本题21分. 第1问13分，（2）式
1
分，（5）式分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各分，（13）
式2分,（14）式1分，（15）式2分. 第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分. 五、 参考解答: c a 如图1所示，当长直金属杆在
ab
位置以速度水平v向右滑动到时，因切割磁力线，在金属
杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为 ll 1 2 （1）
式中为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长LII 1
2
度，由几何关系有 2
222
R（2）
111100
在金属杆由
ab
位置滑动到
cd
位置过程中，金属杆
与大 b d 圆环接触的两点之间的长度可视为不变，近似为.2RL1图 1 将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为
（3）
11
以、所示，
和分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图以表示（4）
a
、
b
两IIIU21ab端的电压，由欧姆定律有
（5）
ab220
ab110
式中，和分
别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，和中的电流在圆心处产生的磁感（6）
2m21
llll1212应强度的大小分别为 Il11
1m2R1Il22 （7）
R方向竖直向上，方向竖直向下. BB12由（4）、（5）、（6）和
（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为 20 （8）
无论长
直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场. 在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为 2I （9）
3mR1
100方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流 a （10）
IIIRR 1 2 右左
右左
左右其中为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，RRR左 ab 和分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆
非R右常靠近圆心，故 b （11）
图 2 ab111右左利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得 v800kBm （12） 3
由于小圆环半径，小圆环圆面上各点的磁场可
属杆在圆心处产生
近似视为均匀的，且都等于长直金
的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为
（13）
当
长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为
（14）
在
长直金属杆以速度从ab移动到cd的时间间隔内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的（15）
v改变为
由法拉第电磁感应定律可得，在
小圆环中产生的感应电动势为大小为 （16）
在长直金属杆从ab移动cd过程中，在
小圆环导线中产生的感应电流为 （17）
于是，利用（12）和（17）式，在
时间间隔内通过小环导线横截面的电荷量为 （18）
i
评分标准： 本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分， （8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3
29届全国中学生物理竞赛复赛（高清试题图片Word答案）
