用数值方法求解可得 Rx4 （13）
4.7
3.0
10kmxe表示卫星与赤道相切点v【亦可用开普
勒第二定律和能量守恒定律求得.令Rxe即近地点的速率，则有 2
eex和 12
(R)
ex2R2Rex
1GMm1GMm22由上两式联
2GM2GMxxx eee其中除
立可
0
得到方程 53
2323
外其余各量均已知, 因此这是关于的五次方程. 同样可以用数值方法解得.】 RRRxxx卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期
，设椭圆的半长轴为，半短轴为，有
(14)
2 2
xe
2ex (15)
因为面积速度可表示为 12
(16) (17) (18)
sx2所以卫星的运动周期为 s代入相关数值可得
h
6.8卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了
半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经处与赤道相切. 但由于地球自转，在这(180
110
)
期间地球同时转过了角度，
地球自转角速度，因此卫星与地球赤道T/2
360
/24h
15
/h相切点位于赤道的经度为西经
180
110
121
2
（19） 即卫
星着地点在赤道上约西经121度处. 评分标准： 本题23分. 第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分. 5%第2问7分，
(11)式1分， (13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数
值结果允许有的相对误差） 三、 13
解法一 如图1所示，建直角坐标，轴与挡板垂直，轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速xyOxy，方向沿x轴正方向，以表示系统的质心，以和表示碰撞后质心的速度分量，vPvv度为Py0Px 表示墙作用于小球的冲量的大小. 根据质心运动定理有 JC （1） （2） （3）
由（1）和（2）式得
Px3m （4）
可在质与挡 （5）
（6）
心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球 O C x 板碰撞过程中，质心的坐标为
l P3CP球碰挡板前，三小球相对于质心静止，对
质心的角C C 动量为零；球碰挡板后，质心相对质心参考系仍是C静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转
动，若转动角速度为，则三小球对质心的角动量 P
图 （7）式
中、和 分别是、和三球到质ABClllAPBPCP心的距离，由图1可知
cos
sin
（8）
（9）
（10）
CP9
sin
由（7）、（11）
（8）、（9）和（10）各式得
3
在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考
系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球
C
的冲量的冲量矩，即有
3【也可以始终在惯性参考系中考察问题，
（12）
即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】 由（11）和（12）式得 14
sin
球
相对
于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）
CP
球相对固定参考系速度的x
分量为 C （16）
由（3）、（6）、（13） 和 （16）各式得 J
（17）
Cx
02根
据题意有 （18）
由（17）和（18）式得 2 （19）
由（13）和（19）式得
（20）
0
l球若先于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板
碰撞后，整ABC个系统至少应绕质心转过角，即杆至少转到沿y方向，过所需时间 （21）
如图2所示. 系统绕质心转
在此时间内质心沿x方向向
右移动的距离 B （22）
若
（23） 则球先于球与挡板碰撞. 由（5）、（6）、
（14）、（16）、（18）、BA（21）、（22）和（23）式得 图2 3 （24）
即
(25) 评分标准： 本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分. 15
解法二 如图1所示，建直角坐标系，轴与挡板垂直，xOxy y
v、、、、和 分vvvvvv以轴与挡板重合，vy
AyByCyAxBxCxAyBy 别表示球与挡板刚碰撞后、和三球速度的分量，ABCC vv B A O 根据题意有 AxBx（1）
x
v Cy以表示挡板作用于球的冲量的大小，
其方向沿轴xJC的负方向，根据质点组的动量定理有 C
（2） （3）
图1 AyByCy以坐标原点为参考点，根据质
点组的角动量定理有 因
（4）
为连结小球的
杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有 （5）
（6） （7）
（7）式中为杆与连线的夹角. 由
几何关系有
（8） （9）
解以上各式得 （10）
（11）
（12）
（13）
16
cosCy0
（14）
0By
（15）
按题意，自球与挡板碰撞结束到球 (也可能球)碰撞
挡板墙前，整个系统不受外力作用，ABC系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，、A和三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球BCB相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球与挡板碰撞刚结束时系统质心的速度
29届全国中学生物理竞赛复赛（高清试题图片Word答案）
