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第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案 一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立x坐标系，以下简称系. 设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，x其所受到的浮力为
重力加速度.物块的重力为
设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有
将(1)和(2)式代入(3)式得
g式中为
将系坐标原点向下移
动 而建立新坐标系，简称系. 新旧坐标的关系为
把(5)式代入(4)式得 式表示物块的运动是简谐振动. 若，则，
式可知，当物块处
对应于物块的平衡位置. 由
于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为
0
物块运动方程在系中可写为
利用参考圆可将其振动速度表示为
式
中为振动的圆频率
在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决
定. 在物块刚被释放Ax=0时，即时刻有，由(5)式得
由(8)至(12)式可求得
(13) 将(10)、(13)和(14)式分别
代人(8)和(9)式得
由(15)式可
知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式xb知在系中这一临界坐标值为（17）
即物块刚好完全浸没在湖
水中时，其下底面在平衡位置以下处. 注意到在Xb振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种A情况讨论： I．. 由(13)和(17)两式得
在这种情况下，物块在运
动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期
物块从初始位置出发往返一次所需的时间
II
．. 由(13)和(17)两式得 AXb
(21)
在
这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从
t初始位置起，经过时间物块刚好
.
全部浸入湖水中，这时
(22) cos
由
(15)1
和
(17)11b
式得
1
arccos
取合理值，
1
有
12
(23)
由上式和(16)式可求得这时物块的速度为
(24)
V(t)
1-11
此后，
物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律a有
(25)
设物块从
刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有 t2
(26)
1
1
122
由(24)-(26)得 2
(
)
(27)
物块从初始位置出发
往返一次所需的时
2
间
为
2 (28)
2(II1217
)2arccos11
(
1)
评分标准： 本题
1
分.（6）式
2
分，（10）（15）（16）（17）（18）式各分，（20）
式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.
10
二、 1. i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭 圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为，r R 0.80R 卫星在此点的速度为.由开普勒第v a 二定律可知 2的角速度定律有 1G
e
式中为地球自转
令表示卫星的质量，根据机械能守m恒
（2） 由
2r20.80R（1）和（2）式解得
可见该点为近地点,而脱离处为远地点. 【（3）
式结果亦可由关系式：
直接求得】 同步卫星的轨道
2R
半径满足
式并代入数据得 4
由(3)和(4)可见近地
点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球. ii. 由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为
s2
设
和分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有 ab 11
0.28(8) (9)
0.80R (7)
2
2 20.800.2822
T卫星运动的周期为
9.5h 卫星
s代人相关数值可求出 （10）
刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过，卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此（约14小时）1.5T点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，所以在12-24小时内二者必相遇，从而可以实现卫星回收. 2.根据题意，卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道的近地点和远地点.在脱离处的总能量为 1GMmGMm2x2(12) 1
xxe
（11） m(R)此
式
23
可化为 32GMxx
eee这是关于的四次方程，
29届全国中学生物理竞赛复赛（高清试题图片Word答案）
