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(2) 0?F(x)?f(x)?f(a)?f(b) 证（1）
F?(x)?(x?a)f(x)?(x?a)?2xaf(t)dt积分中值定理(x?a)f(x)?f(ξ)(x?a)(x?a)2??（a,x）?f(x)?f(ξ)x?a
由f?(x)?0知f(x)单调减,即在(a ,b)内当??x时有f(x)?f(?)又(x?a)?0可得
F?(x)?0.即F(x)在(a ,b)内单调减.
1x?ax(2)因F(x)?f(x)?积分中值定理?af(t)dt?f(x)
f(ξ）?f(x)?0又由f(x)单调减 知,f(a)?f(?)?f(x)?f(b)于是有
0?F(x)?f(x)?f(a)?f(b)
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
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《微积分》试卷（F卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
?x2; x?11. 设函数f?x???在x?1处可导，则（ ）
?ax?b;x?1 A. a?0,b?1 B. a?2,b??1 C. a?3,b??2 D.a??1,b?2
2. 当x?0时，1?cosx是关于x2的（ ）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 3. 若广义积分? ?? 2dxx?lnx?k收敛，则（ ）
A. k?1 B. k?1 C. k?1 D. k?1
14. limex?1?(x??1)
A． 0 B.? C.不存在 D.以上都不对
5.函数f(x)具有下列特征：f(0)?1,f?(0)?0，当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?则f(x)的图形为（ ）。 (A) (B) (C) (D)
6. 6.设f(x)在(??,?)内二阶可导，若f(x)??f(?x)，且在(0,?)内有
y y y y ??0,x?0??0,x?0
1 o o 1 o 1 o 1 x x x x f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在(??,0)内有（ ）
A.f?(x)?0,f??(x)?0, B.f?(x)?0,f??(x)?0, C.f?(x)?0,f??(x)?0, D.f?(x)?0,f??(x)?0.
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二、填空（每小题3分，共18分）
1.
limx??sinxx? 。
?1?x?2． lim??x???x?2x= 。
3. 已知f?(x0)存在，则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h? 。
4．设y?ln(x?1)，那么y(n)(x)? 。 5．
ddx?0xedt? 。 2t26．某商品的需求函数Q?75?P2，则在P＝4时，需求价格弹性为?EREPP?4P?4? ，收
入对价格的弹性是? 。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．limx???x0arctantdtx?12
?2．
?4011?sinxdx
3．?xlnxdx
1e 4．?dxx(1?x)6
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5．求由?etdt? 0 y? x 0costdt?0所决定的隐函数y?y?x?的导数
dydx.
6．已知
sinxx是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。
7．求由曲线y?x2?1与直线y?x?1所围成的平面图形的面积。
8．求由曲线y?x3与x?1,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。
四、(12分)列表分析函数y?ln(1?x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
五、（B类8分） 设f?x?连续，证明：
?
x 0? uftdt?du??????? 0???x?u?f?u?du
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微积分试卷及答案6套
