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2. 已知
xz?lnzy，求
2?z?x2，
?z?y。
3. 改换二次积分?dx?siny2dy的积分次序并且计算该积分。
0x
4.求微分方程y???4y??3y?0在初始条件y
5. 曲线C的方程为y?f(x)，点(3,2)是其一拐点，直线l1,l2分别是曲线C在点(0,0)与
(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数f(x)具有三阶导数，计算
x?0?6，y'x?0?10下的特解。
?
302 (x?x)???f(x)。dx?四、求幂级数?(?1)n?1nx2n2n的和函数s(x)及其极值（10分）。
五、解下列应用题（本题共2小题，每小题10分，共20分）：
311. 某企业生产某产品的产量Q?x,y??100x4y4，其中x为劳动力人数，y为设
备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？
2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性??2P，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即Q (0)=10000, 求需求函数Q ( P )。
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
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《微积分》试卷（E卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
?x2; x?11. 设函数f?x???在x?1处可导，则（ ）
?ax?b;x?1 A. a?0,b?1 B. a?2,b??1 C. a?3,b??2 D.a??1,b?2
f?x?1?cosx2. 已知f?x?在x?0的某邻域内连续，且f?0??0,limf?x?满足（ ）
x?0?2，则在x?0处
A. 不可导 B. 可导 C. 取极大值 D. 取极小值
3. 若广义积分? ?? 2dxx?lnx?k收敛，则（ ）
A. k?1 B. k?1 C. k?1 D. k?1
14. limex??1x?1?()
A． 0 B.? C.不存在 D.以上都不对
5. 当x?0时，1?cosx是关于x2的（ ）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 6.函数f(x)具有下列特征：f(0)?1,f?(0)?0，当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?则f(x)的图形为（ ）。 (A) (B) (C) (D)
二、填空（每小题3分，共18分）
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
??0,x?0??0,x?0
y y y y 1 o o 1 o 1 o 1 x x x x 第 13 页 共 19 页
1.
limx??sinxx? 。
2.
?1?121?xdx? 。
3. 已知f?(x0)存在，则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h? 。
4．设y?ln(x?1)，那么y(n)(x)? 。 5．
ddx?0xedt? 。 2t26．某商品的需求函数Q?75?P2，则在P＝4时，需求价格弹性为?EREPP?4P?4? ，收
入对价格的弹性是? 。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．limx???x0arctantdtx?12x2 ?1?x?2． lim??x???x?
3．?xlnxdx
1e 4．?
5．求由?edt? 0 ytdxx(1?x)6
? x 0costdt?0所决定的隐函数y?y?x?的导数
dydx.
6．已知
sinxx是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。
7．求由曲线y?x与x?1,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。
答案参见我的新浪博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fb788630100muda.html
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8．求曲线y?x2与直线y?kx?1所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？
四、(A类12分) 列表分析函数y?函数图形。
解：(1) 函数的定义域D:(??,?1)?(?1,??)，无对称性； (2) y??x?2x(1?x)22x21?x函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出
?0,得x1??2,x2?0
22y???(2x?2)(1?x)?2(x?2x)(1?x)?1?x?4?2(1?x)3
(3) 列表：
(-∞，-2) -2 （-2，-1） （-1，0） x 0
＋ － － y' 0 0
－ － － ＋ ＋ y\ ↗,∩ 极大值-4 ↘,∩ ↘,∪ 极小值0 y
y (4) 垂直渐近线：x??1；斜渐近线：y?x?1 (5) 绘图，描几个点(?2,?4),(0,0),(1,),(2,) 2314(0,+∞) ＋ ＋ ↗,∪
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o x
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(B类12分)列表分析函数y?ln(1?x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
解： ⑴ 函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称； ⑵ y??2x1?x2?0,得x?0
2
y???2(1?x)?2x?2x?1?x?22?2(1?x)(1?x)(1?x)22?0,得x1??1,x2?1
⑶ 列表：(只讨论（0,+∞）部分)
x 0 (0,1)
＋ y' 0
＋ ＋ y\
极小值 ↗,∪ y
极小值f (0) = 0；拐点（1,ln2） ⑷ 该函数无渐近线；
y 1 ＋ 0 拐点 (1,+∞) ＋ － ↗,∩ o x
⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）
五、（B类8分） 设f?x?连续，证明：
? x 0? uftdt?du??????? 0?xu??x?u?f?u?du
0 x证明：令 F(x)????00xf(t)dt G(x)?f(t)dt
xx?(x?u)f(u)du 只需证明F?(x)?G?(x)（3分）
0x F?(x)?0 G(x)?x?f(u)du??uf(u)du
00G?(x)??x0f(u)du?xf(x)?xf(x)??x0f(u)du
所以F?(x)?G?(x) （8分） （A类8分）设f(x)在[a, b]上连续在(a ,b)内可导且f?(x)?0
F(x)?1x?a?xaf(t)dt,x?(a,b)
试证（1）F(x)在(a ,b)内单调递减
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微积分试卷及答案6套
