《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在?ABC中，c?10，A?45，C?30，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.
解析：
ac， ?sinAsinCcsinA10?sin45??102， sinCsin30∴a?∴ B?180?(A?C)?105， 又
bc， ?sinBsinCcsinB10?sin1056?2??20sin75?20??56?52． sinCsin304∴b?总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；
asinB42.9sin81.80根据正弦定理，b???80.1(cm)；
sinAsin32.00asinC42.9sin66.20根据正弦定理，c???74.1(cm).
sinAsin32.00【变式2】在?ABC中，已知B?75，C?60，c?5，求a、A. 【答案】A?180?(B?C)?180?(75?60)?45，
0000000根据正弦定理
56a5a?，∴. ?oo3sin45sin60【变式3】在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c 【答案】根据正弦定理
abc??，得a:b:c?sinA:sinB:sinC?1:2:3. sinAsinBsinC3,B?60,c?1，求：a和A，C．
例2．在?ABC中，b?思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.
解析：由正弦定理得：
bc， ?sinBsinC∴sinC?csinB1?sin601??， b23（方法一）∵0?C?180， ∴C?30或C?150， 当C?150时，B?C?210?180，（舍去）； 当C?30时，A?90，∴a?b2?c2?2． （方法二）∵b?c，B?60， ∴C?B， ∴C?60即C为锐角， ∴C?30，A?90 ∴a?b2?c2?2．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinC?sin(180?C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：
【变式1】在?ABC中，c?06，a?2，A?45，求b和B,C．
【答案】∵
csinA6?sin453ac??， ∴sinC?， ?a22sinAsinC∵0?C?180， ∴C?60或C?120
∴当C?60时，B?75，b?csinB6sin75??3?1； sinCsin60csinB6sin15??3?1； sinCsin60∴当C?120时，B?15，b?所以，b?3?1,B?75,C?60或b?3?1,B?15,C?120．
【变式2】在?ABC中a?20, b?102,A?45, 求B和c；
【答案】 ∵
a1021?， ∴ sinB?sin45osinB2∵0?B?180， ∴B?30或B?150 ①当B?30时，C?105，c?10(3?1)； ②当B?150时，A?B?195?180（舍去）。
【变式3】在?ABC中，B?60，a?14, b?76, 求?A.
asinB14?sin6002【答案】由正弦定理，得sinA?. ??b276∵a?b, ∴A?B，即 0?A?60 ∴A?45
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知?ABC中，AB?3、BC?37、AC?4，求?ABC中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中BC?37最大，∴BC其所对角A最大，
AB2?AC2?BC232?42?(37)21???， 根据余弦定理：cosA?2ABAC2?3?42∵ 0?A?180， ∴A?120 故?ABC中的最大角是A?120.
总结升华：
1.?ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：
【变式1】已知?ABC中a?3, b?5, c?7, 求角C.
a2?b2?c252?32?721???， 【答案】根据余弦定理：cosC?2ab2?3?52∵0?C?180， ∴C?120
【变式2】在?ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c?的各角的大小．
【答案】设a?o6:2（:3?1），求?ABC6k，b?2k，c??3?1k，?k?0?
?根据余弦定理得：cosB?6??2??3?1?3?1?462?2， 2∵0?B?180，∴B?45； 同理可得A?60； ∴C?180?A?B?75
【变式3】在?ABC中，若a?b?c?bc，求角A.
222b2?c2?a21?? 【答案】∵b?c?a??bc， ∴cosA?2bc2222∵0?A?180， ∴A?120 类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?450，求b及A.
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正
弦定理求角A.
解析：
⑴由余弦定理得：
b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??， ∵cosA?2bc22?22?(6?2)0∴A?60.
（法二：正弦定理）
a233∵sinA?sinB? ?sin450?b222又∵6?2?2.4?1.4?3.8，23?2?1.8?3.6
∴a＜c，即00＜A＜900,
0∴A?60.
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：
【变式1】在?ABC中，已知b?3, c?4, A?135.求B和C. 【答案】由余弦定理得：a?3?4?2?3?4cos135?25?122， ∴a?222o025?122?6.48
bsinA3sin135o??0.327， 由正弦定理得：sinB?aa因为A?135为钝角，则B为锐角， ∴B?197. ∴C?180?(A?B)?2553.
00/00/c?b?22，【变式2】在?ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a?2，
求角A和sinC
【答案】根据余弦定理可得：
6?2，
b2?c2?a28?8?43?43 cosA???2bc22?22?6?2?? ∵0?A?180， ∴ A?30 ；
csinA? ∴由正弦定理得：sinC?a
?6?2sin302???6?24?.
《正弦定理和余弦定理》典型例题
