八年级数学竞赛试题及答案

梨洲中学数学竞赛初二试题（五）

1．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）． （A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种

2．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．

3．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 4．已知0

的值等于 ．(x表示不超过x的最大整数)

5．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

6、在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，如果连接这7个点中的每两个点，那么最多可以得到______条线段；以这些线段为边，最多能构成______个三角形．

7．设a、b、c均是不为0的实数，且满足． a2－b2=bc及b2－c2=ca．证明：a2－c2=ab．

??8．如图3，在凹四边形ABCD中，它的三个内角∠A、∠B、∠C均为450，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．证明：四边形EFGH是正方形．

9、已知长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形．（1）求点D的坐标；（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由．

AEBFDGCH10、设x1, x2, x3, ……， x2 008是整数, 且满足下列条件:( 1) – 1≤xn≤2( n = 1, 2, 3,……,2 008);

( 2) x1 + x 2 + x3+ ……+x2 008 = 200; ( 3) x12 + x22 + x32+ ……+ x20082 = 2 008. 求x13 + x23 + x33 +……+ x20083 的最小值和最大值.

11．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a?d)(b?c)≤0？请说明理由. 解：（1）

4 6 2 1 5 3 （2）

12．已知x?bab，，为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且a≤8，a2?1?x?3?1．（１）试写出一个满足条件的x；（２）求所有满足条件的x．

13、如下图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线。（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=（ ）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。

14、用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色.求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点是同色的.

15. 将1, 2, 3, ……，10这十个数按着某一顺序排成一行, 使得每相邻三个数的和都不超出n. 问:( 1)当n= 10时, 能否排成, 请说明理由;( 2)当能够排成时, n 的最小值是多少?