经济数学基础形成性考核册及参考答案
作业（一）
（一）填空题 1.limx?0x?sinx?___________________.答案：0 x?x2?1,x?02.设f(x)??，在x?0处连续，则k?________.答案：1 ?k,x?0?3.曲线y?x在(1,1)的切线方程是 .答案：y?211x? 224.设函数f(x?1)?x?2x?5，则f?(x)?____________.答案：2x 5.设f(x)?xsinx，则f??()?__________.答案：?π2π 2（二）单项选择题
1. 当x???时，下列变量为无穷小量的是（ ）答案：B A．(??,1)?(1,??) B．(??,?2)?(?2,??)
C．(??,?2)?(?2,1)?(1,??) D．(??,?2)?(?2,??)或(??,1)?(1,??) 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.limxxx?0?1 B.lim?x?0xx?1
C.limxsinx?01sinx?1 D.lim?1
x??xx3. 设y?lg2x，则dy?（ ）．答案：B
11ln101dxdxdxA．2x B．xln10 C．x D．xdx 4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．答案：B
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．limf(x)?A，但A?f(x0)
x?x0 C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微
5.当x?0时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C A．2 B．(三)解答题 1．计算极限
xsinx C．ln(1?x) D．cosx xx2?3x?2(x?2)(x?1)1?lim??（1）lim
x?1x?1(x?1)(x?1)2x2?11 / 15
x2?5x?6(x?2)(x?3)1?lim? （2）lim2x?2x?6x?8x?2(x?2)(x?4)2（3）limx?01?x?1(1?x?1)(1?x?1)1?lim?? x?0x21?x?12x2?3x?51? （4）limx??3x2?2x?43（5）limsin3xsin3x5x33? lim?
x?0sin5xx?03xsin5x55x2?4(x?2)(x?2)?lim?4 （6）limx?2sin(x?2)x?2sin(x?2)1?xsin?b,x?0?x?2．设函数f(x)??a,x?0，
?sinxx?0?x?问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ （2）当a,b为何值时，f(x)在x?0处连续.
答案：（1）当b?1，a任意时，f(x)在x?0处有极限存在； （2）当a?b?1时，f(x)在x?0处连续。 3．计算下列函数的导数或微分： （1）y?x?2?log2x?2，求y? 答案：y??2x?2ln2?（2）y?x2x21 xln2ax?b，求y?
cx?da(cx?d)?c(ax?b)ad?cb=
(cx?d)2(cx?d)2答案：y??（3）y?13x?5，求y?
答案：y???32(3x?5)3
（4）y?x?xex，求y?
2 / 15
答案：y??12xax?(x?1)ex
（5）y?esinbx，求dy
ax答案：dy?e(asinbx?bcosbx)dx （6）y?e?xx，求dy
1x31x?2ex)dx 答案：dy?(2x（7）y?cosx?e?x，求dy 答案：dy?(2xe?x?n212sinx2x)dx
（8）y?sinx?sinnx，求y? 答案：y??n(sinn?1xcosx?cosnx)
（9）y?ln(x?1?x2)，求y?
1?答案：y??2x21?x22x?1?xcot1x?11?x2
（10）y?2?1x1?3x2?2xx3，求y?
ln21?21?6?x?x 答案：y??126x2sinx4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y?或dy （1）x?y?xy?3x?1，求dy
答案：2x?2ydy?y?xdy?3?0 , dy?222cot5y?3?2xdx
2y?x（2）sin(x?y)?exy?4x，求y?
3 / 15
4?yexy?cos(x?y)答案：cos(x?y)(1?y?)?e(y?xy?)?4 , y?? xyxe?cos(x?y)xy5．求下列函数的二阶导数： （1）y?ln(1?x)，求y??
22x2?2x2答案： y?? , y??? 21?x(1?x2)2（2）y?1?xx，求y??及y??(1)
?x?答案：y???1?x2x3?1? , y???x2?x2，y??(1)?1 ???442x23x21153x作业（二）
（一）填空题 1.若2.
?f(x)dx?2?x?2x?c，则f(x)?___________________.答案：2xln2?2
?(sinx)?dx?________.答案：sinx?c
f(x)dx?F(x)?c，则?xf(1?x2)dx? .答案：?de2ln(1?x)dx?___________.答案：0 ?1dx1F(1?x2)?c 23. 若
4.设函数
5. 若P(x)??0x11?t2dt，则P?(x)?__________.答案：?11?x2
（二）单项选择题
2
1. 下列函数中，（ ）是xsinx的原函数． A．
11cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-cosx2 22答案：D
2. 下列等式成立的是（ ）．
A．sinxdx?d(cosx) B．lnxdx?d()
C．2dx?x1x1d(2x) ln2 D．
1xdx?dx
答案：C
3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A．cos(2x?1)dx， B．x1?xdx C．xsin2xdx D．
??2?x?1?x2dx
4 / 15
答案：C
4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A．
C．
?1?12xdx?2 B．?16?1dx?15
???????(x2?x3)dx?0 D．?sinxdx?0
答案：D
5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）．
A．
?????1????1xdx B．?dx C．?edx D．?sinxdx
21x1x0答案：B
(三)解答题
1.计算下列不定积分
（1）?3xexdx
3x答案：ex?c ln3e（2）
?(1?x)2xdx
235答案：=
?1?2x?xdx=2x?43x2?2x5x2?c
）?x2（3?4x?2dx 答案：=?(x?2)dx?12x2?2x?c （4）
?11?2xdx
答案：=?12?11?2xd(1?2x)??12ln1?2x?c
（5）?x2?x2dx
23答案：=
?2?x2d2?x122=3(2?x)2?c
（6）
?sinxxdx
5 / 15
1答案：=sinxd2x??2cosx?c （7）xsin??xdx 2xxxxx?2xcos?2?cosdx??2xcos?4sin?c 22222答案：?2xdcos?（8）ln(x?1)dx
答案：?xln(x?1)?xdln(x?1)?(x?1)ln(x?1)?x?c 2.计算下列定积分 （1）
???2?11?xdx
1答案：=
??1(1?x)dx??21x21x252(x?1)dx?(x?)?1?(?x)1?
222（2）
?21edx 2x1x答案：=?e3?2112ed??ex|1?e?e
x1x1（3）
?1x1?lnx1dx
12答案：=
?e311?lnx1edlnx?2(1?lnx)|1?2
3?（4）
?20xcos2xdx
???1112??2sin2xdx]?? 答案：=?2xdsin2x?[xsin2x|002022（5）
?e1xlnxdx
答案：=
4?e12exx2x21elnxd?lnx|1??dlnx?(e2?1)
12224（6）
?(1?xe0?x)dx
?x答案：=4?作业三
?40xde?4?xe?x|??e?xdx?5?5e?4
04046 / 15
（一）填空题
?104?5???1.设矩阵A?3?232，则A的元素a23?__________________.答案：3 ????216?1??2.设A,B均为3阶矩阵，且A?B??3，则?2ABT=________. 答案：?72
2223. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)?A?2AB?B成立的充分必要条件
是 .答案：AB?BA
4. 设A,B均为n阶矩阵，(I?B)可逆，则矩阵A?BX?X的解X?______________. 答案：(I?B)?1A
?100????15. 设矩阵A?020，则A????00?3????1??__________.答案：A??0??0??0120?0??0? ?1??3??（二）单项选择题
1. 以下结论或等式正确的是（ ）．
A．若A,B均为零矩阵，则有A?B
B．若AB?AC，且A?O，则B?C
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若A?O,B?O，则AB?O答案C
2. 设A为3?4矩阵，B为5?2矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（ ）矩阵． A．2?4 B．4?2
C．3?5 D．5?3 答案A
3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． ` A．(A?B)?1TT?A?1?B?1， B．(A?B)?1?A?1?B?1
C．AB?BA D．AB?BA 答案C 4. 下列矩阵可逆的是（ ）．
?123???10?1????? A．023 B．101 ???????003???123??7 / 15
C．??11? D．?11??00????22?? 答案A
?2225. 矩阵A????333?的秩是（ ）． ?44??4??A．0 B．1 C．2 D．3 答案B
三、解答题 1．计算 （1）???21??01??1??53??????2?10?=?35?? （2）??02??11??00??0?3????00?????00?? ??3?（3）??1254??0???=?0?
??1??2???23???124??2452．计算?1??122??14?????2???3???610? ?1?3???23?1????3?27???解 ?123???122????124?143????245?61???7197?0??2??6?32?????0???712???1????23?1????3?27????0?4?7????3?2? =?515?1110?
??2?14???3???233．设矩阵A???1??111??123?，B??112?，求AB。
?????0?11????011??解 因为AB?AB
23?1232A?111?112?(?1)2?3(?1)220?110?1012?2 8 / 15
45?10??27???
123123B?112?0-1-1?0
011011所以AB?AB?2?0?0
?124?4．设矩阵A???2?1?，确定?的值，使r(A)最小。 ?110??????124??124??124???答案：A???2?1????0??4?7??11????110????0?1?4??????0?4? ?9?0??40???当??94时，r(A)?2达到最小值。 ??2?5321?5．求矩阵A??5?8543????1?7420?的秩。 ?4?1123????2?5321??1?0??答案：A??5?8543?3??1?74027???1?7420??742???5?854?2?5321????15?4?1123????4?1123????09?5?027?15??1?7420???09?5?21??0?? ?r(A)?2。 ?0000?00000??6．求下列矩阵的逆矩阵：
?1?32?（1）A????301?
??11?1?????1?32100??1?32100?答案AI???301010?????0?97310??11?1001?????
?04?3?101??9 / 15
20??69??21???63?? ?1?32100??100113????0?11112???010237?
?001349???001341????????113?A?1???237??? ?349????13?6?3?（2）A =???4?2?1?． ???211??答
??13?6?3100??100?130?AI????4?2?1010????100?1?001012??0102??211001?????11001????2???0010
??10?A-1 =?3?2?7?1? ??012???7．设矩阵A???12??12??35??,B???23??，求解矩阵方程XA?B． 答案：AT???13??25?? BT???12??23??
ATBT???1312??2523?????1312??0?10?1?????101?1??0101?? XT???1?1???01?? X =
?10???11?? 四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。 证明:(B1?B2)A?B1A?B2A?AB1?AB2?A(B1?B2)，
B1B2A?B1AB2?AB1B2
2．试证：对于任意方阵A，A?AT，AAT,ATA是对称矩阵。
证明:(A?AT)T?(AT)T?AT?A?AT，(AAT)T?AAT,(ATA)T?ATA
10 / 15
30??7?1?12???3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 充分性：证明(AB)?AB 必要性：证明AB?BA
4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。 提示：证明(BAB)=B?1AB 作业（四） （一）填空题 1.函数f(x)??1TT4?x?21_________.答案：的定义域为__________(1,2)?(2,4)
ln(x?1)2. 函数y?3(x?1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点.答案：
x?1,x?1，小
3.设某商品的需求函数为q(p)?10e?p2，则需求弹性Ep? .答案：?2p
14.行列式D??11111?____________.答案：4
?1?1116??11??，则t__________时，方程组有唯
325. 设线性方程组AX?b，且A?0?1????00t?10??一解.答案：??1
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ ）． A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x 答案：B
1,则f(f(x))?().． x11A． B．2 C．x D．x
xx2. 设f(x)?答案：C
3. 下列积分计算正确的是（ ）．
x?x1e?eex?e?xdx?0 B．?dx?0 A．??1?122111 / 15
C．
?1-1xsinxdx?0 D．
?1-1(x2?x3)dx?0
答案：A
4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ ）．
A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n 答案：D
?x1?x2?a1?5. 设线性方程组?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ ）．
?x?2x?x?a233?1A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0
C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0 答案：C 三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??e答案：
x?y
dy?exey,dxdy?yxx?yx?e?e?c ， ， ?edx?edy?edxx??edyxex（2） ?dx3y2答
案
：
3y2dy?xexdx,y3?xex?ex?c
2x3ydy?xe??dx，
y3?xex??exdx
2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??答案：
2y?x3 x??xdx2y?e2??dxx?(?xe3dx?C)?e2lnx(?xe3?2lnxx2dx?C)?x(?xdx?C)?x(?C)
222（2）y??y?2xsin2x x1??dxx答案：
y?e?(?2xsin2xe??xdx1dx?C)?elnx(?2xsin2xe?lnxdx?C)
?x(?sin2xd2x?C)?x(?cos2x?C)3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y??e2x?y,y(0)?0
12 / 15
答案：edy?exy2xdx ，
y?edy?12x12x1x1yy ， ， ed2xe?e?ce?e?
2?222(2)xy??y?e?0,y(1)?0 答案
y?e??xdx1ex?xdxexlnx1?lnx(?edx?C)?e(?edx?C)?x?1(?exdx?C)?(ex?C)： xxx1y?1x(ex?e) 4.求解下列线性方程组的一般解：
?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x2?3x3?2x4?0
??2x1?x2?5x3?3x4?0答案：
?102?1?A????11?32???102?1??102?1??01?11???01?11?
?2?15?3??????????0?11?1????0000??所以，方程的一般解为
??x1??2x3?x4x（其中?xx1,x2是自由未知量） 2?3?x4
?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2
??x1?7x2?4x3?11x4?5答
案
??2?1111??A??12?142??12?142??12?10?53?7?3???0???17?4115????5?37??53???03????000??10164??555??73??01?3055??00050????????x1??1?5x3?645x4?5（其中x,x??x37312是自由未知量）
2?5x3?5x4?513 / 15
：
42??7?3?00????5.当?为何值时，线性方程组
?x1?x2?5x3?4x4?2?2x?x?3x?x?1?1234 ??3x1?2x2?2x3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。
答案：
?1?1?54?2?13?1A???3?2?23??7?5?9102??1?1?011?????013??????022??1?1?54?2?13?1?1????0000??8???00000???51313262??9?3???9?3???18??14?4
当??8时有解，一般解??x1??7x3?5x4?1（其中x1,x2是自由未知量）
x??13x?9x?334?25．a,b为何值时，方程组
?x1?x2?x3?1??x1?x2?2x3?2 ?x?3x?ax?b23?11?1??1?1?11??1?1?1?1?1?1??????02?
?11?11答案：A?12?22?02?????????ab??13??04a?1b?1???00a?3b?3??当a??3且b?3时，方程组无解；
当a??3时，方程组有唯一解；
当a??3且b?3时，方程组无穷多解。 6．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q?6q（万元）, 求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q为多少时，平均成本最小？
答案：①C(10)?185（万元） C(10)?2185?18.5（万元/单位） 1014 / 15
C?(q)?0.5q?6， C?(10)?11（万元/单位）
②C???100?0.25,q2C??0,q?20
当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。
（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)?20?4q?0.01q（元），单位销售价格为p?14?0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 答案：L(q)?R(q)?C(q)?pq?20?4q?0.01q?10q?0.02q?20
222L?(q)?10?0.04q,L?(q)?0,q?250
当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为L(250)?1230（元）。 （3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(q)?2q?40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 答案： ?C??64(2q?40)dq?q2?40q|64?100（万元） 36,qC?(q)?1?36,q2C?(q)?0,q?6
C(q)?q?40?当q?6（百台）时可使平均成本达到最低.
（4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(q)?12?0.02q，求：①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 答案：①L?(q)?12?0.02q?2?10?0.02q,当产量为500件时，利润最大.
② ?L?550L?(q)?0,q?500
?500(10?0.02q)dq??25（元）
即在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将减少25元.
15 / 15
经济数学基础形成性考核册及参考答案
