?1?例5.已知圆O:x2?y2?1,点B??，0?，M?1，1?,P为圆O上动点，则2PB?PM的最小值为???2?
A.6
B.7
C.10
D.11
解1：如图?10?所示，取A??2，0?，连接PA,Q??BOP:?AOP,OPOB1??，?POB??AOPOAOP2BPOP1??，?AP?2PB,?PM?2PB?PM?PA?AM?10PAOA2?答案为C?OP注释：已知定点B,阿斯圆O，点B圆内，点M在圆外，当??, OB求?PB?PM可以利用相似三角形构造?PB.
解法2.如图?11?，设x轴上A?a,0?,对于圆O上任一点P都满足则PA?2,圆O与x轴交于点P1，PBP?1?a1A??2,?a??2,?A??2,0?,?PM?2PB?PM?PA?MA?10.1PB1222例6.已知圆C:?x?1???y?1??1,定点O?0，0?,B?2，0?，其中P为圆C上的动点，求2PO?PB的最小值.
6
PB?2，PA2即PB?2PA,设圆C与直线BC交于点P，则PB?2PA,?PB?2?1?PA?1?， 111112?31??点A是BC的中点，?A?，?，?2PO?PB?2?PO?PA??2AO?5.22??解.如图?12?所示，做直线BC,点A在直线BC上，对于圆C上的任一点P都满足注释：此题能否连接OC,在直线OC上找一点D，满足2PO?PD?
如图?1??2?所示，当PA较长时，内分点P1在左侧，当PB较长时，内分点P2在左侧，因此，可以认为较长线段与内分点相对应，较短线段与外分点相对应.?14?所示，假设存在点D符合条件，设圆C与直线OC相交于P?PD?2PO,1、P2两点，如图?点P2是线段OD的内分点，?点D在线段OP2的延长线上，此时P1，P2都是内分点，不符合题意.
1?1???10.已知函数f????2?cos????sin2??cos2???sin???,2?2? ??若集合??Rf????m22????,求实数m的取值范围.?1??1?解：设P?cos?,sin??,B??,0?,M?0,?,则点P在以原点O为圆心的单位圆上,?2??2?PAf???=2PB?PM,设A?a,0?,满足圆O上的任意一点P都有?2，?PA?2PB,PB1 ??1PB1设圆O与x轴交于点P1??1,0?，则1?2?,?a??2,?A??2,0?,P?1?a21A?2PB?PM?PA?PM?AM?1717,?m?.227
yPMABOx(15)uuururuuuruuur2xuuy11.已知BC?6，AC?2AB,点D满足AD?AB?AC,设f?x,y??AD,x?y2?x?y? 若f?x,y??f?x0,y0?恒成立，求f?x0,y0?的最大值.uuururuuuruuurr?uuuruuur1uuuruuur2xuuyxy?1uuu解：AD?AB?AC?2AB??AC?,设2AB?AE,AC?AF,x?y2?x?y?x?yx?y?22?uuurrrxuuuyuuuxy则AD?AE?AF,Q??1,?D,E,F三点共线，作AD0?EF,垂足为D0,
x?yx+yx?yx?yuuuruuuuruuuur如图?16?所示，Qf?x,y??f?x0,y0?恒成立，f?x,y??AD?AD0?f?x0,y0??AD0.
??QAE?2AB,AC?2AF,AC?2AB,?AE?2AF,?ACB??AEF,?EF?AC?6以线段EF所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图?16?所示设A?x,y?,E?0,?3?,F?0,3?,由AE?2AF得，x2??y?3??4x2?4?y?3?uuuur2222?x?y?10y?9?0,?x??y?5??16,?AD0?422
??maxyAFD0CO(16)EBx
yCBMDA(17)xO
8
rrrrrr1rrrr12.已知a,b是相互垂直的单位向量，平面向量c满足a?b?c?,则2c?b?c?a2
的最小值为KKKKuurruuurrrruuuruuururrrruuur解.如图?17?所示，设OA?a,OB?b,a?b?OM,M?1,1?,OC?C,则a?b?c?CM,uuur1rruuurrruuur1依题意CM?，所以点C在以M为圆心，r=的圆上，c?b?BC,c?a?AC,22rrrrMD1MC1?2c?b?c?a?2CB?CA,在AM上取点D满足?，又?，?CMD??AMC,
MC2MA2DCMC1??CMD∽?AMC???，?AC?2CD,?2CB?CA?2CB?2CD?2BDCAMA2rrrr11171717QMD?，?BD?1??，?2CB?CA?，?2c?b?c?a的最小值为.41642213.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1内的动点，且满足?APD??MPC,则三棱锥P?BCD的体积最大值为??y
A.36 B.123. C.24 D.183
D1C1D1C1
PA1DCB1
DPP1Eo(19)P2CxMA
(18)B解.QAD?平面DCC1D1，??ADP?900，QMC?平面DCC1D1，??PCM?900，PDAD??2PCMC?PD?2PC如图?19?所示，以线段DC的中点为原点，线段DC的中垂线为y??APD??MPC,又Q?APD??MPC,??APD∽?MPC,?轴建立平面直角坐标系，则D??3，0?,C?3，0?，设P?x,y?,QPD?2PC,??x?3??y2?4?x?3??4y2,?x2?y2?10x?9?0,即?x?5??y2?16点P的轨迹是以E?5，0?为圆心，r?4的圆在正方形DCC1D1内的部分，11QP3，23,?V???6?6?23?123，?答案为B.??1P?BCDmax32222??9
?14.在?ABC中，AC?2，AB?mBC?m?1?,恰好当B=时，?ABC 的面积最大，3
求m的值.解.如图?20?所示，以线段AC的中点为原点，中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A??1，0?，C?1，0?，设B?x,y?,QBA?mBC,??x?1??y2?m2?x?1??m2y2,??m2?1??m2?12m?m2?1??2m?2??x?2??y??2??圆心D?2,0?,当BD?AC时，B?2,2?,m?1??m?1???m?1??m?1m?1?uur?m2?12m???2m2?2m??BA???1?2,?2???2,2?，m?1m?1??m?1m?1??uuur?m2?12m???2?2m?BC??1?2,?2???2,2?,?m?1m?1??m?1m?1?uuruuuruurr2m2?18m24m4?4m22mm2?1uuu?BA?BC?,又BA??，BC?,222222m?1m?1?m?1??m?1?2uuruuur2uuruuur4m?m2?1?m?1??BA?BC2m1BA?BC?,?cosB????,uuruuur2222m?12BA?BC4m?m?1??m?1?22228m2?m2?1?2
?m2?4m?1?0?m?2?3,?m?1,?m?2?3.A
y
EB
AOCDxBF(21)CD(20)10
15.在四面体CDABCD中，已知AD?BC,AD?6，BC=2，且ABAC??2，求VA?BCD的最大值. BDCD解.如图?21?，作BE?AD,垂足为E,连接CE,QAD?BE,AD?BC,BEIBC?B,1?AD?平面BCE,?AD?CE,?VA?BCD??S?BCE?AD?2S?BCE3BACAPAQ==2,?B、C在以A、D为定点，且满足=2的阿波罗尼斯球上，BDCDPD?B、C在以点E为圆心，且与AD垂直的小圆上，?BE=CE,取BC的中点F,连接EF,1则EF?BC,?VA?BCD?2S?BCE?2??2?EF?2EF?2BE2?1，2以AD所在的直线为x轴，AD的中点为原点建立平面直角坐标系，则A??3,0?,D?3，0?，设B?x,y?,QBA?2BD,??x?3??y2?4?x?3??4y2,即?x?5??y2?16,?BEmax?4,?VA?BCD?2BE2?1?215,??VA?BCD?max?215.222
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阿波罗尼斯圆性质及其应用探究
