阿波罗尼斯圆性质及其应用探究
背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足
PA??,当PB??0且??1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（??1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明.
证明：以AB所在的直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系.不妨设A??a,0?,B?a,0?,P?x,y?，QPA22??,?PA?PB,PA2??2PB2,??x?a??y2??2??x?a??y2?,
??PB??2?1x2??2?1y2?2?2?1ax??2?1a2?0
?2??1?2?1??2?a?22222??x?y?2ax???1a?0,??x?a?y??2? 2????1??1???1????????????2???22??2?1?PA?2?a?2?又以上过程均可逆，??x?a?y?的解都满足?? ??22????1?PB???1??22??2?1?2?a?综上，动点P在以C?a,0为圆心，以r?为半径的圆上运动. 2??2?1???1??3.阿波罗尼斯圆的性质.
性质1
点A、点B在圆心C的同侧；
当??1时，点B在圆C内，点A在圆C外； 当0???1时，点A在圆C内，点B在圆C外。
?2?12a?2?1证明：当??1时，如图?1?所示，2a?a?2?0,?2a?a,?点C在点B的右侧， ??1??1??1当然也在点A的右侧.
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下面讨论点B、A与圆C的关系 ??2?1??2a??2?a????a??2?1a?????2?1????2?1?,?点B在圆C的内部.??????
222??2?1??2?2a??2?a?????a??2?1a??????2?1?????2?1?,?点A在圆C的外部.
??????222?2?12?2a?2?1当0???1时，如图?2?所示，2a???a??2?0,?2a??a,?点C在点A的左侧， ??1??1??1当然也在点B的左侧.下面讨论点B、A与圆C的关系 ??2?1??2a??2?a????a??2?1a?????2?1????2?1?,?点B在圆C的外部.??????222??2?1??2?2a??2?a?????a??2?1a??????2?1?????2?1?,?点A在圆C的内部.
??????综上可得定点A、B在圆心C的同侧.
当??1时，点B在圆C内，点A在圆C外； 当0???1时，点A在圆C内，点B在圆C外。
222设圆C与x轴交于PAB内，称为内分点，一点在线段外，1、P2两点，一点在线段PPA1A称为外分点，由阿波罗尼斯圆的定义可得：?2.PP2B1B此时，我们称PP1、P2调和分割AB,同时A、B也调和分割1P2.
性质2.
设点P是圆C上不同于点PPA、PP1、P2的任意一点，连接1、PB、PP2，则PP的内、外角平分线.1、PP2分别是?APBPAPA证明：由阿波罗尼斯圆的定义可知，?1,?PP1平分?APB.
PBP1BPAPA同理可知，?2,?PP2平分?APB的外角.
PBP2B
2
性质3 .AC?BC?r2.
??2?1???2?1??4?2?2?122???证明：当??1时，AC?BC??a?aa?a?a?a2??2?1???2?1??2?1????????4?2?2?1??4?2?2?1??2?1?2a?2??4?2a22?1?2?r2
?4?AC?BC?PC2?r2其几何特征如图性质4.AB?AC?AP1?AP2
证明：由性质3可得，AC?BC?AC??AC?AB??AC2?AC?AB?r2?AB?AC?AC2?r2??AC?r??AC?r??AP1?AP2.利用此性质可以作出点A的对应点B.
若点A在圆C外，过点A作圆C的切线，切点为P,作PB?AC,垂足为B,则点B为所求.
?4?，证明：如图?AP2?AP1?AP2?AB?AC,?AB?AC?AP1?AP2?点B即为所求点.
性质5.过点B作圆C不与P1P2重合的弦EF,则AB平分?EAF.
?5?所示，证明：如图?EAFAEAEB?,??,?AB平分?EAF. EBFBFAFB
4.阿波罗尼斯圆的应用
例1.?06四川?已知两定点A??2，0?，B?1，0?，如果动点P满足PA?2PB,则点P的轨迹所围成的图形的面积是?????.36解法1：利用阿斯圆的性质可知，点P的轨迹是阿斯圆，a?,??2,r??2,?s?4?.23解法2：设P?x,y?,?PA?2PB,??x?2??y2?4?x?1??4y2.x2?4x?y2?0,??x?2??y2?4,222?点P的轨迹是以?2,0?为圆心，以2为半径的圆，?轨迹所围成的面积为4?.
3
例2.?08江苏?满足条件AB?2，AC?2BC的?ABC的面积的最大值是????.解法1.此题点C的轨迹是以A、B为定点，??2时的阿斯圆，?a?1,r??s?ABCmax?1?AB?r?22.22?a?22,2??1解法2.以线段AB的中点为原点，中垂线为y轴建立平面直角坐标系.CA?x?1?2?y2?2?x?1?2?2y2, 则A??1,0?,B?1,0?,设C?x,y?,由?2得，CB12?x2?6x?y2?1?0,??x?3??y2?8,?s?ABCmax??AB?r?22.2?x?4??y2?16上的任意一点，问在平例3.已知A??2，0?，P是圆C：面上是否存在一点B，2使得PA1??若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由.PB2解法1.利用性质3可得，AC?BC?16，?BC?8，?B?4，0?.12?a解法2.利用性质1可得，??，r?4,??4,?a?3,?AB?6,?B?4,0?.
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解法3利用4，作AP?x轴，与圆C交于点P,如图?7?所示，连接CP,作PB?PC,交x轴与点B,点B即为所求.?P?2，23，?kcp??b?2?6,?b?4,?B?4,0?.??233233?3,?kPB??,设B?b,0?,则kPB???,23?2?b3122PB得，4?x?2??4y2??x?b??y2,22?3x2?3y2??2b?16?x?16?b2?0??1?,??x?4??y2?16,?x2?y2??8x??2?,解法4.一般解法，设B?b,0?,P?x,y?,由PA??2b?8?x?16?b2?0,x???8,0?,把?2?代入?1?得，?2b?8?0??,?b?4,?B?4,0?.2?16?b?04
?x?4??y2?16，问在x轴上是否存在定点A、B，使得对于圆C上变式：已知圆C：2任意一点P,都有PA1?，若存在，求出点A、B的坐标；若不存在，说明理由.PB2解：设圆C于x轴交于另一点D,此题就是寻找定点A、B,使得点O、D分别是线段AB的内外分点，设A?a,0?,B?b,0?,其中?2?a?0,b?0,OA1?a1?得：?,?b??2a?????1?OB2b2DA1a?81由?得：?,?b?2a?8????2?DB28?b2由?1??2?得，a??2,b?4,?A??2,0?,B?4,0?.由
PA1?，PB2222PA2?x?2??y2?x?2??16??x?4?4?4x1PA1?????,??.PB2?x?4?2?y2?x?4?2?16??x?4?216?16x4PB2下面证明圆C上的任意一点P?x,y?都满足?存在符合条件的点A、B.例4.在等腰?ABC中，AB?AC,D为AC的中点，BD?3，求?ABC的面积的最大值.解：以线段BD的中点为原点，中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图?9?所示，?3??3?则B??，0?，D?，0?，AB?2AD,设A?x,y?,由AB?2AD得，?2??2?3?3?9??2222?x???y?4?x???4y,?x?y?5x??02?2?4??5?1???x???y2?4,??S?ABD?max??3?2?32?2??D是AC的中点，??S?ABC?max?2?S?ABD?max?6注释：点A的轨迹是以B、D为定点，??2的阿斯圆，a?3?5?,圆心?,0?,r?2,??S?ABD?max?32?2?
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阿波罗尼斯圆性质及其应用探究
