导数压轴题的变形策略
广西南宁市第三中学（530021） 黎承忠
【摘 要】［摘 要］导数是高考数学的必考知识，其综合性强，难度较高.要有效解决导数压轴题，合理变形转化是关键. 【期刊名称】中学教学参考 【年(卷),期】2019(000)011 【总页数】3
【关键词】［关键词］导数；压轴题；变形转化
导数是高中数学的重要内容，也是高考数学的必考知识，主要是函数、导数与不等式的综合，难度相对较高.纵观近几年全国新课标卷的第21题（压轴题），几乎都是考查导数的应用.其情境模型主要有：①ex+f(x)；② exf(x)；③lnx+f(x)；④f(x)lnx；⑤ exlnx；⑥含lnx的分式.（其中f(x)为多项式函数或分式函数）
所涉及的考点有切线、函数单调性、极（最）值、恒成立问题、不等式证明等.着重考查学生对导数概念的理解和灵活运用的能力，体现的数学思想非常丰富，比如方程思想、分类讨论思想、转化思想、构造函数思想，在解决超越方程时可通过变形、试根、设根等.
这部分知识在高中数学教学中，尤其是高考数学复习教学中占据重要的位置，但其教学效果往往不是很理想.通过对近几年高考导数压轴题的分析研究，笔者发现要有效解决导数压轴题，合理变形转化是关键.本文就如何变形提供三种方法.
一、指、对数分离
常见指数、对数的伴随结构有xlnx和将指数式和对数式的积的形式分开，分解为几个简单函数的形式，方便通过导数研究问题.
［例1］设函数在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. （Ⅰ）求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)＞1. 变形分析： （Ⅰ）a=1,b=2；
（Ⅱ）f(x)=，要证f(x)＞ 1，只要求f(x)的最小值大于1，但求最小值不易，考虑将exlnx+将指数和对数分开），分别求函数g(x)在(0,+∞)上的最小值为上的最大值为，且不同时取最值，故xlnx＞成立，即f(x)＞ 1.注意g(x)min≥h(x)max是不等式g(x)＞h(x)成立的充分不必要条件. ［例2］已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3. （1）求f(x)在[ ]t,t+2(t＞0)上的最小值；
（2）若存在等式2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切x∈(0,+∞)，都有 变形分析：
第（3）问：指对已分离，根据伴随结构形式及函数f(x)的结构可知，不等式的两边先乘以x再分边求（同例1）.
二、用指、对数基本不等式变形
常见指数、对数基本不等式有lnx≤x-1.在解决问题时，运用这些基本不等式将指（对）数式放缩为多项式或分式，可简化问题，有助于快速解决问题. ［例3］已知函数f(x)=ln(x+1)-x.
（1）求函数f(x)的单调递减区间； 变形分析：
（1）f(x)的递减区间为(0,+∞)；
（2）由（1）知 f(x)在 (-1,0)递增，故 x＞-1时，f(x)≤f(0)，即ln(x+1)≤x，∴lnx≤x-1(x＞0)?ln
［例4］设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b（a，b ∈R,a，b为常数），曲线y=f(x)与直线
（1）求a,b的值. 变形分析： （1）a=0,b=-1；
（2）当0＜x＜2时，证明ln(x+1)+ x+1-1＜t2+5＜3(t+1)，即 t2-3t+2＜0,1＜t＜2,∵1＜t＜ 3，故上式成立，从而，当0＜x＜2时，ln(x+1)+
注：从证明过程可知，0＜x＜3时命题成立，另外，lnx≤x-1不能直接应用，要加以证明.
［例5］已知函数2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=(x2+x)f'(x)，其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x＞0,g(x)＜1+e-2. 变形分析：
故f(x)在区间(0,1)内为增函数，在(1,+∞)内为减函数.
导数压轴题的变形策略
