第三章 3.1 3.1.3
【基础练习】
1．(2019年河南安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝( )
17A．－
255C．－
3【答案】B
3424
【解析】由三角函数的定义，可得sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，5525731
cos 2α＝cos2α－sin2α＝，sin 2α－cos 2α＝－.故选B．
2525
2．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( ) ππ?A．f(x)在??4，2?上是递增的 C．f(x)的最小正周期为2π 【答案】B
【解析】因为f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．故选B．
π5π2
－α?＝，则sin?＋2α?的值为( ) 3．(2019年安徽马鞍山模拟)已知cos??6?3?3?5
A．
945C．±
9【答案】C
π?2π2π5π5
－α＝，所以cos?α－?＝，sin?α－?＝±.所以sin?＋2α?＝【解析】因为cos??6?3?6?3?6??3?3πππ4552
2α－?＝2sin?α－?cos?α－?＝2×?±?×＝±.故选C． sin?3???6??6?9?3?3
π?12π
－α＝，则cos?＋2α?＝( ) 4．若sin??6?3?3?1
A．－
37
C．
9
7
B．－
91D． 31B．
95D．－
9
B．f(x)的图象关于原点对称 D．f(x)的最大值为2 31B．－
257D． 5
【答案】B
2πππππ2
＋2α?＝2cos2?＋α?－1＝2cos2?－?6－α??－1＝2sin2?－α?－1＝－1＝【解析】cos????3??3??6??2?97
－. 9
π?1
5．(2017年福建莆田一模)已知sin??2－α?＝4，则cos 2α的值是( ) 7A．
88C．
9【答案】B
π?1117
－α＝，∴cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝2×??2－1＝－.故选B． 【解析】∵sin??2?4?4?48π7π
α＋?＝2，则tan?2α＋?＝________. 6．(2019年广东佛山期末)已知tan?12??6??1
【答案】－
7
π?2α＋π?＝2×2＝－4，则tan?2α＋7π?＝tan?2α＋π＋π?α＋?＝2，【解析】由tan?可得tan3?1－2212?34??6????34
－＋131
＝＝－. 47－?×11－??3?7．已知sin(α－45°)＝－7【答案】
25
【解析】由于sin(α－45°)＝－1－?－
2?272
＝， 1010?2
且0°＜α＜90°，则－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝10
2且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________． 10
7B．－
88D．－
9
?
7222
∴cos α＝cos(α－45°＋45°)＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝×－?－?102?10?×
4?2247＝，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×?－1＝. ?5?25251－tan α8．已知＝1，求证：
2＋tan α3sin 2α＝－4cos 2α.
1－tan α1
【证明】因为＝1，所以tan α＝－.
22＋tan α
2tan α4sin 2α4
tan 2α＝＝－，即＝－，
3cos 2α31－tan2α所以3sin 2α＝－4cos 2α.
113π
9．已知cos α＝，cos(α－β)＝且0＜β＜α＜，求：
7142(1)tan 2α的值； (2)β的大小．
1π
【解析】(1)由cos α＝，0<α<，
72得sin α＝1－cos2α＝
1?243
1－??7?＝7.
sin α
所以tan α＝＝43，
cos α
2×432tan α83
于是tan 2α＝＝＝－. 471－tan2α1－?43?2ππ
(2)由0<β<α<，得0<α－β<. 22
1333
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
1414
1π
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，所以β＝. 23
【能力提升】
x
10．(2018年四川模拟)若1＋sin 2x＝2cos2，x∈(0，π)，则tan 2x的值构成的集合为( )
2A．{3} C．{－3，0，3} 【答案】C
xx1
【解析】∵1＋sin 2x＝2cos2，∴2sin xcos x＝2cos2－1＝cos x．∴cos x＝0或sin x＝.222ππ5ππ5π
又x∈(0，π)，∴x＝，，.∴2x＝π，，.∴tan 2x＝0或±3，则tan 2x的值构成的集合
26633为{－3，0，3}，故选C．
11．已知cos 2θ＝13
A．
187
C．
9
2
，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) 3
11
B．
18D．－1 B．{－3，3} D．?－
??
33?，0，? 33?
【答案】B
1111
【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
2218π2
θ－?＝，则tan 2θ＝________. 12．已知θ∈(0，π)且sin??4?1024
【答案】－
7
π2211θ－?＝(sin θ－cos θ)＝，【解析】∵sin?∴sin θ－cos θ＝.∴1－2sin θcos θ＝，2sin ?4?210525π24497
0，?，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.∴θcos θ＝＞0.依题意知，θ∈??2?25255437sin 2θ24
sin θ＝，cos θ＝.∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，∴tan 2θ＝＝－.
5525cos 2θ7
πππ
ax－?cos?ax－?＋2cos2?ax－?(a＞0)，且函数的最小正周期13．已知函数f(x)＝23sin?4??4?4???π
为. 2
(1)求a的值；
π
0，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在??4?
πππ
ax－?cos?ax－?＋2cos2?ax－?(a＞0)，化简可得 【解析】(1)函数f(x)＝23sin?4??4?4???ππ
2ax－?＋cos?2ax－?＋1 f(x)＝3sin?2?2???＝－3cos 2ax＋sin 2ax＋1 π
2ax－?＋1. ＝2sin?3??
ππ
∵函数的最小正周期为，即T＝，
222ππ
∴T＝＝，可得a＝2.
2a2∴a的值为2.
π
4x－?＋1. (2)由(1)得f(x)＝2sin?3??ππ2ππ
0，?时，4x－∈?－，?. x∈??4?3?33?
ππ
当4x－＝－时，函数f(x)取得最小值为1－3；
33ππ
当4x－＝时，函数f(x)取得最大值为2×1＋1＝3，
32
π
0，?上的最大值为3，最小值为1－3. ∴f(x)在??4?
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高中数学(人教A版)必修四限时训练：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
