高中数学基本不等式问题求解十例
一、基本不等式的基础形式
1．a2?b2?2ab，其中a,b?R，当且仅当a?b时等号成立。 2．a?b?2ab，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。
a23．常考不等式：
?b22?a?b?????ab?2??221a?1b，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：
（1）积定和最小：若ab是定值，那么当且仅当a?b时，?a?b?min?2ab。其中a,b??0,??? （2）和定积最大：若a?b是定值，那么当且仅当a?b时，?ab?max例题1：若实数a,b满足2a?2b?1，则a?b的最大值是 ．
?2?2?ab解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2?2???2??ab2?a?b????，其中a,b?R。
2??2?14?2a?b?2?2?a?b??2，当且仅当a?b??1时取等号。 变式：函数y?ax?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A，若点在直线mx?ny?1上，则mn的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点A?1,1?，将点A?1,1?代入直线方程mx?ny?1中可得m?n?1，明显，和为
11?m?n?定，根据和定积最大法则可得：mn??，当且仅当时取等号。 ?m?n??224??2例题2：已知函数f?x??2?x12x?2，则f?x?取最小值时对应的x的值为__________．
12x?2解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2?取等号。
变式：已知x??2，则x?1x?2??21x?2?x?22?x12x?2?1，当且仅当2x?12x?2?x??1时
的最小值为 。
，1明显，积为定，根据和定积最大法则可得：
1x?2解析：由题意可得x?2?0?,x?1x?21x?2x?2??2?x?2???2，当且仅当x?2??x?2?1?x时取等号，此时可得?1?x?1x?2?0。
例题3：若对任意x>0，
x
≤a恒成立，则a的取值范围是________．
x＋3x＋1
2解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。xx?3x?12x2x???a?a??2 ??3x?1x?3x?1??maxx解法1：将化简可得xx?3x?12?x?11x?3?x?0?，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：x?1x?2x?1x?2，当且仅当x?1x?x?1时取等号。故而可得分式的分母
x?1x?3?5?0?x?11x?3?11x1??a?，因此可得：。 ??2??555?x?1?3x?max解法2：将xx?3x?12化简可得xx?3x?12?x?11x?3?x?0?，令f?x??x?1x?x?0?，这是一个对勾函数，故而可得f?x??x?1x?f?1??2。故而分母x?1x?3?f?x??3?5，代入分式函数取倒数可得
0?x?11x?3?x???25?x?1?1??3x?m?ax1因此可得：a?515。
问题2：“1”的代换 解题思路：根据f?x??m?fm1x?x??m?0?，对所求内容进行乘除化简即可。
例题4：若两个正实数x、y满足
?4y?1 ，且不等式x?y4＜m2?3m有解，则实数m的取值范围是 。
解析：由题意可得
1x?4y?1，左边乘以
1x?4y?1可得：x?y4?y??14??x??????4??xy??1，化简可得：
y4xy??14?y4x??，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：x???1?1??????4xy4??xy?4xy?y4x?4xy?2y4x?4xy?2，当且仅当
y4x?4x?x?2y??14??时取等号。故而可得?x??????4。不等式?1??y4??xy???y?8x?y4＜m2?3m有解，亦即m2y???3m??x??4?4??min，亦即m2?3m?4?0，解得m?4或者m??1，故而
可得m????,?1???4,???。
12x?y2x?y变式：若x?0， y?0，且
??2，则4x?3y的最小值为__________．
解析：由?2x?y??2?x?y??4x?3y，化简题干条件可得
12x?y?42x?2y?2乘以所求内容可得：
4x?3y???14????4x?3y?2x?y2x?2y??22x?2y4?2x?y?2x?2y2???14????2x?y?2x?2y?2x?y2x?2y??2，化简后可得：
4x?3y?2x?y??4?1，很明显
2x?2y2x?y?4?2x?y?2x?2y中二者积为定值，根据积定和最小法则可
得
2x?2y2x?y?4?2x?y?2x?2y?22x?2y2x?y92?4?2x?y?2x?2y?4，当且仅当
2x?2y2x?y?4?2x?y?2x?2y?x?0??2，亦即?3时取
?y?2?等号。此时可得?4x?3y?min?问题3：方程中的基本不等式
。
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 12
例题5：（2015·湖南高考）若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为__________．
ab解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：
1ab?1a?2b?21a?2b?22ab，当且仅当
1a?2b?b?2a时取等号，化简后可得：ab?2?4?a?22，此时?
5?4?b?2变式：若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为__________．
解析：将题干条件化简可得：lg?3x?y??lg?x?y?1??3xy?x?y?1，由题意需要求解xy，故而可知利用不等式x?y?23xy?1?2xy，将条件化简可得：3xy?1?x?y?2xy当且仅当x?y时等号成立，化简上式可得
xy?0??3xy?1??xy?1?0??xy?1?xy?，此时1x?y?1
问题4：含参基本不等式问题
解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。 例题6：已知
a?2a?2x2?4x?x2?1对于任意的x??1,???恒成立，则（ ）
A．a的最小值为?3 B．a的最小值为?4 C．a的最大值为2 D．a的最大值为4
解析：由题意可知参数为a，将自变量移项可得：a2?2a?2?4xx?x4x?12?x?4x?1?x，观察等式右侧，可知等式
右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：
?x?1?24x?1??x?1??4，当且仅当
4?4??x??5。此时可得?由a2?2a?2??x?1??x?3时取等号，?x对于任意的x??1,???x?1x?1x?1??min4???x??5，化简可得?a?3??a?1??0，解得?3?a?1。
?x?1?min4恒成立可得：a?2a?2??2变式6：已知a>0，b>0，若不等式
2a?1b?m2?8m2a?b恒成立，则m的取值范围是 。
2解析：由题意可知参数为m，将双自变量a、b移项可得：m?8m???2?a?1???2a?b?恒成立，故而可得b?m2??2?1?2b2a1??2?，将不等式右侧化简可得????2a?b??5?，很明显积为定值，?8m??????2a?b??b?abb??a??a?min2ba2ab2ba2ab根据积定和最小法则可得：
??2??4，当且仅当
2ba?2ab?a?b?1时取等号。故而
??2?1??2a?b??????ab????m代入不等式中可得m?9，
in2?8m?9化简为?m?9??m?1??0解不等式可得?1?m?9。
问题5：不等式与其他问题结合
（向量与不等式）例题7：已知OA?aOB?bOC(a?0,b?0)，且A,B,C三点在同一条直线上，则值为_________．
1??1????a?b?ab??11a?1b的最小
解析：由三点共线可得a?b?1，观察形式采用“1”的代换，故而1a?1b??2?ba?ab，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：1a1bbaabba?ab?2ba?ab?2，当且仅当ba?ab?a?b?12时取等号。故而可得??2???3。
C?ABC?a?b?c?33。
高中数学基本不等式的解法十例
