概率与统计
热点一 常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场321
对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．
432
7
(1)若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终
10的大名单？
(2)求M获胜场数X的分布列和数学期望．
3
解：(1)记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P(A)＝，P(B)
4
———21321
＝，P(C)＝，由于事件A，B，C相互独立，所以P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××＋32432
32?1?3?2?1?3?2117177
××?1－?＋×?1－?×＋?1－?××＝，由于>，所以M会入选最终的大名单． 43?2?4?3?2?4?32242410(2)M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝P(ABC)＝?1－?×?1－?×?1－?＝；
432
———
??
3??
??
2????
—
1?1?24
P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝×?1－?×?1－?＋?1－?×?1－?×＋?1－?××?1－?＝＝；
324342
—————
3
4
??
2??
??
1????
3??
??
2?
?
1?2?
3?
?
2?3?
1??
61244
32?1?3?2?1?3?2111
P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××?1－?＋×?1－?×＋?1－?××＝；
3?2?4?322443?2?4?
—
—
—
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，
所以M获胜场数X的分布列为：
32
431261244
X P 0 1 241 1 42 11 243 1 41111123数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
24424412
【类题通法】(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【对点训练】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每
43
次投中的概率为，乙每次投中的概率为；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，
54求：
(1)“火星队”至少投中3个球的概率；
(2)“火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
(2)X的所有可能的取值为0，2，4，6，8，
P(X＝0)＝×××＝311
1145111
；
45400
1141
1
147
＝ ； ?400200
??P(X＝2)＝2×?×××＋×××?＝45454545
?
?34111431?3131141473
P(X＝4)＝2×?×××＋×××?＋×××＋×××＝；
?45454545?45454545400?45454545?40050
341449
＝.
4540025
?34313414?16821
P(X＝6)＝2×?×××＋×××?＝＝；
P(X＝8)＝×××＝所以X的分布列为
3445
X P E(X)＝0×
0 1 4002 7 2004 73 4006 21 508 9 251147316814431＋2×＋4×＋6×＋8×＝. 4004004004004005
热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练. 【例2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)．
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
3P(X＝0)＝C03×(1－0.6)＝0.064， 2P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)＝0.288， 2P(X＝2)＝C23×0.6×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C3×0.63＝0.216. X的分布列为
XP 00.064 10.288 20.432 30.216因为X～B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；
第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
【对点训练】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 发电机最多 可运行台数 40
专题01概率与统计-2019高考数学(理)热点题型
