《数学建模》课程作业题
第三章 初等模型
1 某企业单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件，固定费用为90万元/年.
(1) 求盈亏平衡点.
(2) 若企业现有生产能力为2.4万件/年，问每年的盈利为多少？ (3) 为扩大生产，拟引进一条自动线，每年需增加固定费用20万元，但可节约变动费用10元/件，为扩大销售量，拟降价10%，问此方案在年产量为多少件时可行？ 一、问题分析
企业的盈亏取决于企业产品的销售收入和产品的成本费用，当销售总收入大于总成本费用时，企业就盈利；否则企业就亏损。
针对问题一：已知单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件为，固定费用为90万元/年。盈亏平衡即就是销售总收入等于总成本费用。
针对问题二：企业现有生产能力为2.4万件/年，计算每年的盈利，根据题目所给的数字及问题一的分析，可以计算年利润，此时获取真实的利润。
针对问题三：引进一条自动线，每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，并且降价10%，分析此方案的可行性，所以必须要计算年产量为多少件时可以达到收支平衡，可以将其划定为规划问题求解。 二、模型建立及求解 3.1问题一
利润w=总销售收入-总成本。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：
其中：c是变动费用，w是总利润，v是售价，p是固定费用，x是产品销售量 令w=0,则得到： 即
经计算，销售量x为18000件。 3.2问题二
利润W=销售额-总成本。企业现有生产能力为2.4万件/年，每年的盈利为：
经计算，每年的利润w为300000元。 3.3问题三
对问题一的模型：利润W=销售额-总成本 进行扩展，加入条件每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，销售降价10%。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：
经计算，每年的销售量x至少为22000件。
2某厂拟增添设备扩大生产，现有A、B两类设备可选，投产后的生产费用估算如下： 设备 固定费用（元/年） 单件产品变动费用（元） A 12000 9.5 B 24000 6.0 试确定两类设备适应的生产规模（提示：即确定当年产量为多大规模时，应选用何种设备）. 一、问题分析
题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的 标准是设备A和B哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。
由题目可知方案有两种，一是选择设备A，二是选择设备B，选择两种方案中的一个即选择两种方案成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。
二、模型建立及求解
设备A成本: 设备B成本:
其中： 是使用设备A成本， 是使用设备B成本，x是销售量。
令w1=w2，可求得销售量x为3428.6件，取整3428。计算x取1时两种方案的成本，此时设备A的成本小于设备B。 综上所述，我们可以有如下选择：
当销售量x小于等于3428件时，选择设备A， 当销售量x大于等于3429件时，选择设备B。
3 某地拟建一工厂，有三种方案可供选择，各方案的生产费用如下： 方案 固定费用（万元/年） 单件产品变动费用（元） A 50 40 B 120 26 C 264 14 试确定不同生产规模时应选用的建厂方案. 一、问题分析
题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的 标准是方案A B和C哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。
由题目可知方案有三种，一是选择方案A，二是选择方案B，三是选择方案C。选择三种方案中成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。 二、模型建立及求解
先画出三个方案的销售-成本图，如下：
8.建模作业_初等模型
