专题22 正方形
专题知识回顾
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2．正方形的性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3．正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。
b24．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形=a?
22
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A．√2 【答案】B
【解析】设正方形ADOF的边长为x， 由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6， ∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10， 在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
1
B．2 C．√3 D．4
即（6+x）2+（x+4）2＝102， 整理得，x2+10x﹣24＝0， 解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去）， ∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2
【例题2】（2019?四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
【答案】见解析。
【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF． 证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA． 又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA＝∠AFO． ∴△BOE≌△AOF（AAS）． ∴OE＝OF．
专题典型训练题
一、选择题
1．（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
2
A．
B．
C．
﹣1
D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠DAF＝30°， ∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示： ∴AG＝FG，∠DGF＝30°， ∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD， ∴2x+
x＝1，
解得：x＝2﹣， ∴DF＝2﹣
，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝
﹣1； 故选：C．
2．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）
3
A．（
，﹣
）
B．（1，0） C．（﹣
，﹣
）
D．（0，﹣1）
【答案】A.
【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1（
，
），A2（1，0），A3（
，﹣
），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3， ∴点A2019的坐标为（故选：A．
，﹣
）
3.（2019?四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为
21
(A) (B)1 61 32312(C)11 (D) 54【答案】A
【解析】阴影部分面积=1××=
1 64.（2019?贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③
4
△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4
D．5\\
【答案】C．
【解答】∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点
∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90° ∵△ADE沿DE翻折得到△FDE
∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90° ∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90° ∴∠EBF＝∠EFB
∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB ∴∠DEF＝∠EFB ∴BF∥ED 故结论①正确；
∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG ∴Rt△DFG≌Rt△DCG ∴结论②正确；
∵FH⊥BC，∠ABC＝90° ∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90° ∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED ∴△FHB∽△EAD ∴结论③正确； ∵Rt△DFG≌Rt△DCG ∴FG＝CG
设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x
在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2 解得：x＝2 ∴BG＝4 ∴tan∠GEB＝
＝
5
[优选]2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题22 正方形（教师版）
