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例１差分方程—-资金的时间价值
问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起
每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用
记;
月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。
b.建立变量之间的明确的数学关系。若用月后（加上利息后)欠款 所以总的欠款为
ｋ=0，1，２，３，
而一开始的借款为
.所以我们的数学模型可表述如下
记第k个月时尚欠的 款数,则一个
, 不过 我们又还了x元
(1)
c. （1)的求解。由
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（2）
这就是
之间的显式关系。
d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即
,从 而得
(3）
（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时A0和x之间的关系式，如果 我们已经知道银
行的贷款利息R，就可以算出A0。例如，若Ｒ =0．01,则由(3)可算得
5３94６元。如果该房地产公司说一 次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自 己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的
数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。
注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。
例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
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夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢? 解：现在的问题就是要求使
的ｘ，由(2）式知
现
=6000０，R=0。01,k=30０，算得x=63２元，这说明这对夫妇有能力买房。
例题２ 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60００0元，22年还清，只要;（ｉ）每半个月还31６元；(iｉ）由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款，即316×6=1896元。这对夫妇想:提前三年还清当然是好事,每半个月还3１6元，那一个月不正好是还632元，只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18%元,当然使人不高兴，但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟，是１896元的十几倍哪!这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢?这对夫妇请教你给他们一个满意的回答。 具体解法略. 问题2：养老基金
今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 的养老基金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，再存入某种利息较高而又安全的“银行”（也可称为货币市场）到60岁退休时可以动用。也就是说,若退休金不足以维持一定的生活水平时，就可以动用自己的养老基金，每月取出一定的款项来补贴不足部分.假设月利率及=0．01不变，还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱A0（不论多少），每月存入y元（个人和单位投入的总和）；通常从三十一岁 开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化的假设，但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为
其中x为每月要从养老基金中提出的款项.
习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基 金，他把已有的积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为０．01 （以复利计)，每月存入300
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数学建模例题及解析
