学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
π?
1．cos??－3?＝________.
??
π?π1
【解析】 cos??－3?＝cos3＝2.??
【答案】
1
2
π1
－，0? 2．若sin(π＋α)＝，α∈???，则tan α＝________.
2?2?
【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝，π1
－，0? ∴sin α＝－，又α∈???，
2?2?ππ3
－? ∴α＝－，tan α＝tan?＝－.??63?6?
1
2
【答案】 －
33
3?π?3．(2016·南京高一检测)已知α∈?0，?，tan(π－α)＝－，则sin α＝
2?4?
________.
【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－，则tan α＝，sin α3??＝， 解方程组?cos α4
??sin2α＋cos2α＝1，
3
4
34
3535
π3
0，? 得sin α＝±，又α∈???，所以sin α＞0，
2?5?
所以sin α＝. 【答案】
π?3?5π? 4．已知sin??α－4?＝2，则sin?4－α?的值为________．
????
1 / 5
5π?＝sin?π－?α－π??－α 【解析】 sin??4?????4??????
π?3
＝sin??α－4?＝2.
??
【答案】
3
2
πsinα－3π＋cosπ－α
5．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的2sin－α－cosπ＋α
值为________．
【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m，原式＝
－sin α－cos α
＝
－sin α＋cos α
－tan α－1－m－1m＋1
＝＝.
－tan α＋1－m＋1m－1
【答案】
m＋1m－1
6．已知f(x)＝sin x，下列式子中成立的是________(填序号)．
①f(x＋π)＝sin x；②f(2π－x)＝sin x； ③f(－x)＝－sin x；④f(π－x)＝f(x)．
【解析】 正确的是③④，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．
【答案】 ③④
7．tan 300°＋sin 450°＝________.
【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－3.
【答案】 1－3
8．(2016·苏州高一检测)若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________.
【导学号：06460014】
【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝1－cos280°＝1－k2，从而tan 80°＝－【答案】 －二、解答题
2
9．若cos(α－π)＝－，
3
1－k2
k
1－k2
. k
2 / 5
求
sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π
的值．
cosπ－α－cos－π－αcosα－4π
【解】 原式＝
－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α
－cos α－－cos αcos α＝
sin α－sin αcos αsin α1－cos α
＝
－cos α＋cos2α－cos α1－cos α
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α 2＝－，
3
2
∴cos α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
32
当α为第一象限角时，cos α＝，
3sin α＝1－cos2α＝
5， 3
sin α55
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
cos α222
当α为第四象限角时，cos α＝，
3sin α＝－1－cos2α＝－
5， 3
sin α55
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
cos α22综上，原式＝±
5
. 2
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【解】 由条件得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B， 平方相加得2cosA＝1，cos A＝±π3
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
4433
当A＝π时，cos B＝－＜0，
42
2
2
， 2
?π?∴B∈?，π?， ?2?
3 / 5
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去． π3π∴A＝，cos B＝，∴B＝，
4267
∴C＝π.
12
能力提升]
1．(2016·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的
值为________．
【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即
sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，
∴sin αcos α＝
sin αcos αtan α3
＝＝.sin2α＋cos2αtan2α＋110
【答案】
310
2．(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为
________．
【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°
＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，
又tan 600°＝ ∴3＝
－3，a
－3
，即a＝－3.a
【答案】 －3
3．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan α＝________.
【解析】 cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－，①
∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－<0， 又∵sin α>0，∴cos α<0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝，②
754925242512515
15
4 / 5
由①②得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝－. 【答案】 －3434
3545
122
4．已知tan α，是关于x的方程3x－3kx＋3k－13＝0的两实根，且3π＜αtan α
＜
【解】 因为tan α，
7π
，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．2
122
是关于x的方程3x－3kx＋3k－13＝0的两实根，tan α
所以tan α·
112
＝×(3k－13)＝1，tan α3
可得k2＝. 因为3π＜α＜
7π
，所以tan α＞0，2
163
sin α＜0，cos α＜0，
又tan α＋1－3k
＝－＝k，tan α3
43
，3
所以k＞0，故k＝
所以tan α＋
1sin αcos α143
＝＋＝＝，tan αcos αsin αsin αcos α3
所以sin αcos α＝
所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×
3
，4
32＋3＝.42
因为cos α＋sin α＜0，
所以cos α＋sin α＝－3＋1
，2
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)
＝cos α＋sin α＝－
3＋1
.2
5 / 5
高中数学第一章三角函数1.2.3.1三角函数的诱导公式(一～四)学业分层测评苏教版必修4
