19．汕头市有一块如图所示的海岸，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：
OB上分别取点E，F，方案l：在岸边OA，用长度为1km的围网依托岸边围成三角形EOF（EF为围网）．
方案2：在∠AOB的平分线上取一点P，再从岸边OA，OB上分别取点M，N，使得∠MPO＝∠NPO＝θ，PN为围网） 用长度为1km的围网依托岸边围成四边形PMON（PM，．记三角形EOF的面积为S1，四边形PMON的面积为S2．请分别计算S1，S2的最大值，并比较哪个方案好．
【解答】解：方案1：设OE＝akm，OF＝bkm，
222
在△EOF中，由余弦定理得：EF＝OE+OF﹣2OE?OF?cos∠EOF， 222
即1＝a+b﹣2abcos
，
时等号成立），
时等号成立），
22
∴1＝a+b+ab≥2ab+ab＝3ab，（当且仅当a＝b＝
∴S1＝absin∴S1最大值为
≤km2．
＝，（当且仅当a＝b＝
方案2：在△MPO中，由正弦定理得：，即＝
，
∴PO＝sin（120°﹣θ），
∴S2＝PM?PO?sinθ ＝＝＝
sin（120°﹣θ）?sinθ （（
cosθ+sinθ）?sinθ sinθ?cosθ+sin2θ）
＝＝＝
（（
sin2θ+）
+
＝
，（当且仅当θ＝
时等号成立），
sin2θ﹣cos2θ）+
）+km2．
≤
sin（2θ﹣
∴S2最大值为∵
＜
，
∴方案2好． 20．设椭圆＝0的圆心．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知＝，则a＝2c，
22
圆M的标准方程为（x+1）+y＝16，从而椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），即c＝1， 222
所以a＝2，又b＝a﹣c＝3．
22
（a＞b＞0）的左焦点为F1，离心率为．F1为圆M：x+y+2x﹣15
所以椭圆的方程为：+＝1．
（Ⅱ）可知椭圆右焦点F2（1，0）．
（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时K不存在，直线l：x＝1，直线l1：y＝0， 可得：|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ABCD面积12．
（ⅱ）当l与x轴平行时，此时k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1， 可得：|AB|＝4，|CD|＝4
，四边形ABCD面积为8
．
（ iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
2222
得（4k+3）x﹣8kx+4k﹣12＝0．
则x1+x2＝．x1x2＝
所以|AB|＝
?|x1﹣x2|＝．
过点F2（1，0）且与l垂直的直线当l与x轴不垂直时， l1：y＝﹣（x﹣1），则圆心到l1的距离为
，
所以|CD|＝2＝4
故四边形ABC面积：S＝|AB|?|CD|＝12．
）．
可得当l与x轴不垂直时，四边形ABCD面积的取值范围为（12，8综上，四边形ABCD面积的取值范围为[12，8
]．
21．已知函数f（x）＝xcosx﹣2sinx+1，g（x）＝x2eax（a∈R）． （1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；
（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值范围．
axax
注：复合函数y＝e的导函数y'＝ae．
【解答】解：（1）设h（x）＝f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣2cosx＝﹣cosx﹣xsinx， ∴h′（x）＝sinx﹣sinx﹣xcosx＝﹣xcosx
当x时，h′（x）＜0；当x
）单调递减，在（）＝﹣
时，h′（x）＞0； ）单调递增．
，h（π）＝1＞0，
所以h（x）在（0，又h（0）＝﹣1＜0lh（
故f′（x）在区间（0，π）上存在唯一零点．
（2）记f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x）max，g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（x）max．
依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，
由（Ⅰ）知，f′（x）在（0，π）只有一个零点，设为x0，
且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0；， 所以f（x）在（0，x0）单调递减，在当（x0，π）时单调递增． 又f（0）＝1，f（π）＝1﹣π＜0，所以当x∈[0，π]时，f（x）max＝1． 故应满足g（x）max≤1．
axax2ax2
因为g（x）＝xe，所以g′（x）＝（ax+2x）e＝x （ax+2）e．
①当a＝0时，g（x）＝x，对任意x∈[0，2]，g（x）max＝g（2）＝4，不满足g（x）max≤1．
②当a≠0时，令g′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣．
（ⅰ）当﹣≥2，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]上
2a
单调递增，g（x）max＝g（2）＝4e．
2
由4e≤1，得a≤﹣ln 2，所以﹣1≤a≤﹣ln 2．
g′gg（ⅱ）当0＜﹣＜2，即a＜﹣1时，上，（x）＜0，（x）单调递减．（x）max＝由
≤1，得a≤﹣或a≥，所以a＜﹣1．
．
2a
（ⅲ）当﹣＜0，即a＞0时，显然在[0，2]上，g′（x）≥0，g（x）单调递增，于是g
2a
（x）max＝g（2）＝4e，此时不满足g（x）max≤1．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣ln 2]．
请考生从第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ＝4
．
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ＝4
ρ（cosθ﹣sinθ），
22
可得直角坐标方程：x+y﹣4x+4y＝0．
的值．×
2
，展开可得：ρ＝4
（2）直线l的参数方程为：
2
（t为参数），代入上述方程可得：t+2
t﹣4
＝0． t1+t2＝﹣2则
，t1t2＝﹣4，
＝
＝
＝
＝
＝
[选修：不等式选讲]
．
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1|． （1）解不等式
；
，求
的最小值．
（2）若正数a，b，c，满足
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1| ①当x≤1时，f（x）＝2﹣x﹣（1﹣x）＝1，由②当1＜x＜2时，f（x）＝3﹣2x，由③当x≥2时，f（x）＝﹣1不满足综上，不等式（2）解法1：∵
的解集为：
，
，解得x≤1；
，即
，解得
；
，此时不等式无解， ．
∴＝
，当且仅当
所以解法2：∵∴
∵a，b，c＞0， ∴
由
柯
西
不
等
式
的最小值为
， ，
，
时等号成立．
：上式＝
＝
时等号成立．
所以
的最小值为
．
，当且仅当
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
